東京大学 2000年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

正整数 $l$ を与える．各正整数 $n$ に対して，関数

y = x^{l} sin n x, 0 ≦ x ≦ 2 π

のグラフと $x$ 軸で囲まれる図形を $C_{n}$ とする．

(1) $C_{n}$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積を $V_{n}$ とするとき，極限値

n \to \infty lim V_{n}

を求めよ．

(2) $C_{n}$ を $y$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積を $W_{n}$ とするとき，極限値

n \to \infty lim W_{n}

を求めよ．

出典：東京大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

(1) 円板法で $sin^{2} n x$ の平均値 $1/2$ を使う。(2) 円筒殻法で $∣ sin n x ∣$ の平均値 $2/ π$ を、半周期ごとのリーマン和として示す。

$x$ 軸に垂直な断面は半径 $∣ x^{l} sin n x ∣$ の円であるから

V_{n} = π \int_{0}^{2 π} x^{2 l} sin^{2} n x d x .

sin^{2} n x = \frac{1 - cos 2 n x}{2}

より

V_{n} = \frac{π}{2} \int_{0}^{2 π} x^{2 l} d x - \frac{π}{2} \int_{0}^{2 π} x^{2 l} cos 2 n x d x .

第2項の積分は部分積分により $n \to \infty$ で0に収束する。実際、端点項と残る積分はいずれも定数の $1/ n$ 倍で押さえられる。従って

n \to \infty lim V_{n} = \frac{π}{2} \cdot \frac{( 2 π ) ^{2 l + 1}}{2 l + 1} .

すなわち

n \to \infty lim V_{n} = \frac{π ( 2 π ) ^{2 l + 1}}{2 ( 2 l + 1 )} .

円筒殻法より

W_{n} = 2 π \int_{0}^{2 π} x^{l + 1} ∣ sin n x ∣ d x .

ここで連続関数 $g (x) = x^{l + 1}$ に対し

I_{n} = \int_{0}^{2 π} g (x) ∣ sin n x ∣ d x

を考える。区間を長さ $π / n$ の $2 n$ 個に分け、各区間で $u = n x - k π$ と置くと

I_{n} = \frac{1}{n} k = 0 \sum 2 n - 1 \int_{0}^{π} g (\frac{k π + u}{n}) sin u d u .

$g$ は閉区間で一様連続だから、 $n \to \infty$ で各積分中の $g ((k π + u) / n)$ を $g (k π / n)$ に置き換えた全誤差は0に収束する。従って

I_{n} - \frac{2}{n} k = 0 \sum 2 n - 1 g (\frac{k π}{n}) ⟶ 0.

右の和は

\frac{2}{π} k = 0 \sum 2 n - 1 g (\frac{k π}{n}) \frac{π}{n} ⟶ \frac{2}{π} \int_{0}^{2 π} g (x) d x .

従って

n \to \infty lim W_{n} = 2 π \cdot \frac{2}{π} \int_{0}^{2 π} x^{l + 1} d x = \frac{4 ( 2 π ) ^{l + 2}}{l + 2} .