東京大学 2000年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$k$ を正整数とし， $x$ を変数とする $k$ 次多項式 $P_{k} (x)$ について次の条件

(C) {P_{k} (x) - P_{k} (x - 1) = x^{k - 1} P_{k} (0) = 0

を考える．ただし， $x^{0} = 1$ と定める．このとき，次の問に答えよ．

(1) $k = 1, 2$ に対し， $P_{k} (x)$ を求めよ．

(2) すべての $k ≧ 3$ に対し，条件(C)を満たす $P_{k} (x)$ が存在し，しかもただ一つであることを示せ．

(3) 正整数 $k$ に対し， $k$ 次の多項式 $Q_{k} (x)$ を次の条件が成立するように定める．

{Q_{k} (0) = Q_{k} (1) = \dots = Q_{k} (k - 1) = 0 Q_{k} (k) = 1

このとき， $k$ 個の整数 $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k}$ がそれぞれただ一つ存在して

P_{k} (x) = j = 1 \sum k c_{j} Q_{j} (x)

と表されることを示せ．

出典：東京大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1) 係数比較で求める。(2) 差分作用素が $j$ 次項を $j - 1$ 次項へ移し、その最高次係数を $j$ 倍する三角構造を用いる。(3) $Q_{j}$ を階乗型多項式で表し、整数点で順次係数を決める。

解答

(1)

$k = 1$ のとき

P_{1} (x) - P_{1} (x - 1) = 1, P_{1} (0) = 0

より

P_{1} (x) = x .

$k = 2$ では $P_{2} (x) = a x^{2} + b x$ とおくと

P_{2} (x) - P_{2} (x - 1) = 2 a x - a + b = x .

係数比較により $a = b = 1/2$ だから

P_{2} (x) = \frac{x ( x + 1 )}{2} .

(2)

多項式に作用する差分を

Δ F (x) = F (x) - F (x - 1)

と書く。 $j ≧ 1$ に対して

Δ x^{j} = j x^{j - 1} + 次数が j - 2 以下の多項式

である。従って、 $x^{k}, x^{k - 1}, \dots, x$ の係数を高次から順に選べば

Δ P_{k} (x) = x^{k - 1}

を満たす $k$ 次多項式を作れる。最後に定数項を選んで $P_{k} (0) = 0$ とすれば存在が示される。

また二つの解の差を $H$ とすると

Δ H = 0.

非定数多項式 $H$ なら $Δ H$ の次数は $de g H - 1$ で0にはならない。従って $H$ は定数であり、さらに $H (0) = 0$ だから $H = 0$ である。よって解はただ一つである。

(3)

条件を満たす多項式は

Q_{j} (x) = \frac{x ( x - 1 ) \dots ( x - j + 1 )}{j !}

である。実際、 $x = 0, 1, \dots, j - 1$ で0となり、 $Q_{j} (j) = 1$ である。

条件 (C) を整数 $m ≧ 1$ に順次用いると

P_{k} (m) = r = 1 \sum m r^{k - 1}

となるので、 $P_{k} (m)$ は整数である。

まず $x = 1$ を代入して

c_{1} = P_{k} (1)

と定める。次に $m = 2, 3, \dots, k$ に対して順に

c_{m} = P_{k} (m) - j = 1 \sum m - 1 c_{j} Q_{j} (m)

と定める。ここで

Q_{j} (m) = \frac{m ( m - 1 ) \dots ( m - j + 1 )}{j !}

は整数であるから、帰納的にすべての $c_{m}$ は整数となる。

このように作った

R (x) = j = 1 \sum k c_{j} Q_{j} (x)

は $x = 0, 1, \dots, k$ の $k + 1$ 点で $P_{k} (x)$ と一致する。両者の次数は高々 $k$ なので恒等的に一致する。また $x = 1, 2, \dots, k$ へ順に代入すれば各 $c_{j}$ が一意に決まる。従って整数 $c_{1}, \dots, c_{k}$ はそれぞれただ一つ存在する。

東京大学 2000年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2000年度
後期・理系数学後期第1問