問題
平面内の領域
において
の最小値が正となるような定数，を座標とする点の範囲を図示せよ。
出典：東京大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
与式 は を固定すれば の一次式、 を固定すれば の一次式である。したがって正方形領域上の最小値は頂点で実現する。4頂点での値をすべて正にする条件を書き、 平面上の3本の直線で囲まれる開三角形として整理する。最後に境界を含まない理由を、最小値が「正」であることから確認する。
解答
とおく。 を固定すると は の一次式であるから、 における最小値は または でとる。さらに を固定すると は の一次式であるから、正方形 上の最小値は4つの頂点のいずれかでとる。
各頂点での値は である。したがって、最小値が正となるための必要十分条件は である。
これを の条件として書き直すと である。上2つは とまとめられる。さらに が成り立つには 、すなわち が必要である。
よって求める範囲は である。図形としては、3直線 で囲まれる三角形の内部であり、頂点は である。ただし、最小値が ではなく正でなければならないので、境界はすべて含まない。
別解。 は正方形上の双一次式である。正方形を2つの三角形に分けて見ても、各辺上では一次式になるため、最小値は結局いずれかの頂点で起こる。したがって4頂点の値を調べる方法は、単なる必要条件ではなく十分条件も含んでいる。