東京大学 2000年度文系数学第1問解答・解説

問題

底面の半径1，上面の半径 $1 - x$ ，高さ $4 x$ の直円すい台 $A$ と，底面の半径 $1 - \frac{x}{2}$ ，上面の半径 $\frac{1}{2}$ ，高さ $1 - x$ の直円すい台 $B$ がある。ただし， $0 ≦ x ≦ 1$ である。 $A$ と $B$ の体積の和を $V (x)$ とするとき， $V (x)$ の最大値を求めよ。

% 図は省略

出典：東京大学 2000年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

直円すい台の体積公式 $V = \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$ を2つの立体に適用する。半径と高さが $x$ によって変わるので、まず $A$ と $B$ の体積を別々に展開し、和を3次関数に整理する。最大値は閉区間 $0 ≦ x ≦ 1$ 上で求めるため、導関数の符号変化だけでなく、端点 $x = 0, 1$ と区間内の停留点の値を必ず比較する。

解答

直円すい台の体積は、下底の半径を $R$ 、上底の半径を $r$ 、高さを $h$ とすると $\frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$ である。

直円すい台 $A$ については、 $R = 1$ 、 $r = 1 - x$ 、 $h = 4 x$ だから $V_{A} = \frac{4 π x}{3} {1 + (1 - x) + (1 - x)^{2}}$ である。括弧内を整理すると $1 + (1 - x) + (1 - x)^{2} = 3 - 3 x + x^{2}$ なので $V_{A} = \frac{π}{3} (12 x - 12 x^{2} + 4 x^{3})$ である。

直円すい台 $B$ については、 $R = 1 - \frac{x}{2}$ 、 $r = \frac{1}{2}$ 、 $h = 1 - x$ だから

V_{B} = \frac{π ( 1 - x )}{3} {(1 - \frac{x}{2})^{2} + \frac{1}{2} (1 - \frac{x}{2}) + \frac{1}{4}}

である。括弧内は

(1 - \frac{x}{2})^{2} + \frac{1}{2} (1 - \frac{x}{2}) + \frac{1}{4} = \frac{7 - 5 x + x ^{2}}{4}

であるから $V_{B} = \frac{π}{12} (1 - x) (7 - 5 x + x^{2})$ である。

したがって $V (x) = V_{A} + V_{B} = \frac{π}{12} (15 x^{3} - 42 x^{2} + 36 x + 7)$ となる。導関数は $V^{'} (x) = \frac{π}{12} (45 x^{2} - 84 x + 36) = \frac{π}{4} (15 x^{2} - 28 x + 12)$ である。 $15 x^{2} - 28 x + 12 = 0$ を解くと $x = \frac{2}{3}, \frac{6}{5}$ であり、区間 $0 ≦ x ≦ 1$ に入る停留点は $x = 2/3$ だけである。

端点も含めて値を比べる。

\frac{12}{π} V (0) = 7, \frac{12}{π} V (1) = 16, \frac{12}{π} V (\frac{2}{3}) = \frac{151}{9}

である。ここで $151/9 > 16$ なので、最大値は $x = 2/3$ のとき $V_{m a x} = \frac{π}{12} \cdot \frac{151}{9} = \frac{151 π}{108}$ である。

東京大学 2000年度文系数学 第1問

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