東京大学 1999年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

座標平面上の原点を $O (0, 0)$ とする．また $x$ 座標および $y$ 座標がともに整数であるような点を格子点という．

(1) $t$ を正の実数とする．点 $P (- 1, 0)$ を通り，傾きが $t$ の直線と単位円 $x^{2} + y^{2} = 1$ との $P$ 以外の交点を $Q (t)$ とする． $Q (t)$ の座標を求めよ．つぎに， $0 < s < t$ を満たす2つの実数 $s$ ， $t$ に対し，線分 $Q (s) Q (t)$ の長さを求めよ．

(2) $∠ Q (s) P O = α$ ， $∠ Q (t) P O = β$ とし

u = tan \frac{α}{2}, v = tan \frac{β}{2}

とおく．もし $u$ ， $v$ がともに有理数ならば，線分 $Q (s) Q (t)$ の長さもまた有理数となることを示せ．

(3) 任意に与えられた3以上の整数 $n$ に対し，つぎの条件(C1)，(C2)，(C3)をすべて満たす $n$ 個の異なる点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ が，座標平面上に存在することを証明せよ．

(C1) $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ はすべて格子点である．

(C2) $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ のどの異なる3点も一直線上にない．

(C3) $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ のどの異なる2点 $A_{i}$ ， $A_{j}$ に対しても，線分 $A_{i} A_{j}$ の長さは整数である．

出典：東京大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1) 直線を円へ代入して交点と弦長を求める。(2) 半角の正接から $sin α, cos α$ が有理数になることを使う。(3) 単位円上に多数の有理点を選び、共通倍数で拡大する。

解答

(1)

直線は

y = t (x + 1)

である。これを $x^{2} + y^{2} = 1$ に代入し、既知の根 $x = - 1$ を除くと

Q (t) = (\frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, \frac{2 t}{1 + t ^{2}}) .

従って $0 < s < t$ のとき、座標差を計算して

∣ Q (s) Q (t) ∣ = \frac{2 ( t - s )}{( 1 + s ^{2} ) ( 1 + t ^{2} )} .

(2)

直線 $P Q (s)$ の傾きは $s$ だから

s = tan α, t = tan β .

$u = tan (α /2)$ が有理数なら

sin α = \frac{2 u}{1 + u ^{2}}, cos α = \frac{1 - u ^{2}}{1 + u ^{2}}

はともに有理数である。同様に $v$ が有理数なら $sin β, cos β$ も有理数である。

点 $Q (s), Q (t)$ の単位円上での偏角はそれぞれ $2 α, 2 β$ なので、その弦長は

∣ Q (s) Q (t) ∣ = 2 sin (β - α) .

ここで

sin (β - α) = sin β cos α - cos β sin α

は有理数である。従って弦長も有理数である。

(3)

$0 < u_{1} < \dots < u_{n} < 1$ を満たす相異なる有理数を選ぶ。例えば

u_{j} = \frac{j}{n + 1}

でよい。 $u_{j} = tan (α_{j} /2)$ とし、対応する単位円上の点を $Q_{j}$ とする。(1)および半角公式から各 $Q_{j}$ の座標は有理数であり、(2)から任意の二点間距離も有理数である。

有限個の座標と距離の分母の公倍数を $N$ とし

A_{j} = N Q_{j}

とおく。すると各 $A_{j}$ は格子点で、任意の二点間距離は整数である。また $Q_{j}$ は同一円周上の相異なる点であり、一直線と円の交点は高々2個だから、どの3点も一直線上にない。相似拡大でこの性質は保たれる。

従って $A_{1}, \dots, A_{n}$ は (C1)、(C2)、(C3) をすべて満たす。

東京大学 1999年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 1999年度
後期・理系数学後期第2問