東京大学 1999年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

(1) $n$ を正の整数とする． $- \frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ の範囲において

f_{n} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{sin n x}{sin x} c_{n} - \frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{π}{2}, x \neq = 0 x = 0

とおくことにより定義される関数 $f_{n} (x)$ が，連続関数となるように定数 $c_{n}$ の値を定めよ．

(2) $f_{3} (x)$ は $cos x$ ， $cos 2 x$ 等を用いて表せることを示し，定積分

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f_{3} (x) d x

の値を求めよ．

(3) 任意の正の整数 $n$ に対して，定積分

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f_{2 n + 1} (x) d x

の値を求めよ．

出典：東京大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

(1) $x \to 0$ の極限を求める。(2)(3) 奇数倍角の比を余弦の有限和に直すと、対称区間で余弦項の積分がすべて0になる。

x \to 0 lim \frac{sin n x}{sin x} = n x \to 0 lim \frac{sin n x}{n x} \frac{x}{sin x} = n .

従って連続となるための値は

c_{n} = n

である。

加法定理から

sin 3 x = sin x (1 + 2 cos 2 x)

なので

f_{3} (x) = 1 + 2 cos 2 x

である。 $x = 0$ でも両辺は3となり一致する。従って

\int_{- π /2}^{π /2} f_{3} (x) d x = \int_{- π /2}^{π /2} (1 + 2 cos 2 x) d x = π .

任意の正の整数 $n$ に対し

\frac{sin ( 2 n + 1 ) x}{sin x} = 1 + 2 k = 1 \sum n cos 2 k x

が成り立つ。これは右辺に $sin x$ を掛け、積和公式を用いれば望遠的に $sin (2 n + 1) x$ となることから分かる。 $x = 0$ でも連続値 $2 n + 1$ と一致する。

各 $k ≧ 1$ について

\int_{- π /2}^{π /2} cos 2 k x d x = \frac{sin k π}{k} = 0.

従って

\int_{- π /2}^{π /2} f_{2 n + 1} (x) d x = π .