問題
(1) 四面体の各辺はそれぞれ確率で電流を通すものとする。このとき，頂点からに電流が流れる確率を求めよ。ただし，各辺が電流を通すか通さないかは独立で，辺以外は電流を通さないものとする。
(2) (1)で考えたような2つの四面体とを図のように頂点とでつないだとき，頂点からに電流が流れる確率を求めよ。
% 図は省略
方針
(1)は と がつながらない余事象を、 を含む導通成分で分類する。 の成分が 、 または 、 の3種類に分かれ、互いに重複しない。各場合で、外へ出る辺が通らないことと、成分内部が連結であることを数える。(2)は2つの四面体が接続点だけでつながっているので、 から接続点へ流れる事象と、接続点から へ流れる事象の積になる。
解答
(1)
から に電流が流れない確率を求め、その余事象をとる。 と導通している頂点の集合を、 を含む導通成分と呼ぶことにする。 と がつながらないとき、この成分は を含まないので のいずれかである。
まず導通成分が である場合を考える。このためには、 から出る3辺 がすべて電流を通さなければよい。したがって確率は である。
次に導通成分が である場合を考える。このとき は電流を通し、外へ出る辺 は電流を通さない必要がある。辺 はこの成分に関係しないので自由であり、確率は である。同様に導通成分が である場合も確率は である。よってこの2場合の合計は である。
最後に導通成分が である場合を考える。 とつながってはいけないので はすべて電流を通さない必要がある。一方、三角形 の3頂点は互いに導通していなければならない。3辺からなる三角形が連結になるのは、3辺のうち少なくとも2辺が電流を通す場合である。確率は
である。したがってこの場合の確率は である。
以上より、 から に電流が流れない確率は である。したがって求める確率は である。
(2)
2つの四面体は、頂点 と をつないだ接続点だけを通して接している。したがって から に電流が流れるためには、第一の四面体の中で から へ流れ、かつ第二の四面体の中で から へ流れることが必要十分である。
それぞれの確率は(1)と同じく であり、2つの四面体の辺の導通は独立である。よって求める確率は である。