東京大学 1999年度
文系数学 第3問

解答

直線 $l:y=x-c$ を考える。放物線 $A:y=x^2$ 上の点 $(x,x^2)$ について、直線 $l$ を $x-y-c=0$ と書けば、この点から $l$ までの距離は $\frac{|x-x^2-c|}{\sqrt{2}}=\frac{x^2-x+c}{\sqrt{2}}$ である。ここで $x^2-x+c={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+c-\frac{1}{4}$ であり、$c>1/4$ だから $x^2-x+c>0$ である。したがって、放物線 $A$ は直線 $l$ と交わらず、常に同じ側にある。

この距離の最小値は $x=\frac{1}{2}$ のときであり、${\min }_{P\in A}\mathrm{dist}(P,l)=\frac{c-\frac{1}{4}}{\sqrt{2}}$ である。

次に、$Q$ を放物線 $B$ 上の任意の点とする。$B$ は $A$ を直線 $l$ に関して対称移動したものであるから、$Q$ の対称移動前の点を $Q^{\prime }\in A$ とおくと $\mathrm{dist}(Q,l)=\mathrm{dist}(Q^{\prime },l)$ である。したがって $\mathrm{dist}(Q,l)\geqq \frac{c-\frac{1}{4}}{\sqrt{2}}$ である。

一方、$P\in A$、$Q\in B$ は直線 $l$ をはさんで反対側にある。よって線分 $PQ$ の長さは、少なくとも2点の $l$ からの距離の和以上である。したがって

である。

等号が実現することを確認する。$A$ 上で $l$ からの距離を最小にする点は $P_0=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$ である。この点を直線 $l$ に関して対称移動した点を $Q_0$ とすれば、$Q_0$ は $B$ 上にあり、線分 $P_0{Q}_0$ は $l$ に垂直で、その長さは $P_0$ から $l$ までの距離の2倍である。よって

である。

したがって求める最小値は $\sqrt{2}\left(c-\frac{1}{4}\right)$ である。

別解。座標を直線 $l$ に平行な方向と垂直な方向に取り直す。点 $(x,y)$ に対して、$l$ に垂直な符号付き距離に比例する量を $u=y-x+c$ とおくと、$A$ 上では $u=x^2-x+c={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+c-\frac{1}{4}$ である。よって $A$ 上の $\nu$ の最小値は $c-1/4$ である。反転後の $B$ では符号付き距離が反対になるため、2つの曲線の間の垂直方向の最小差は $2(c-1/4)$、実際の距離はこれを $\sqrt{2}$ で割ったもの、すなわち $\sqrt{2}(c-1/4)$ になる。