東京大学 1999年度
文系数学 第2問

解答

$z=x+yi$ とおく。まず $2z=2x+2yi$ であるから、$2z$ の実部が整数であることは $2x=m$ となる整数 $m$ が存在することと同じである。

また、$z\ne 0$ であり $\frac{2}{z}=\frac{2}{x+yi}=\frac{2(x-yi)}{x^2+y^2}$ だから、$2/z$ の実部は $\frac{2x}{x^2+y^2}$ である。したがって、これが整数であることは $\frac{2x}{x^2+y^2}=n$ となる整数 $n$ が存在することと同じである。

まず $m=0$ の場合を考える。このとき $x=0$ であり、$z=yi$ である。すると $2z$ の実部は0、$2/z$ の実部も0である。条件 $|z|\geqq 1$ より $|y|\geqq 1$ である。したがって $z=yi(|y|\geqq 1)$ はすべて条件を満たす。

次に $m\ne 0$ とする。このとき $x\ne 0$ なので $n\ne 0$ である。$2x=m$ より $x=\frac{m}{2}$ であり、さらに $x^2+y^2=\frac{2x}{n}=\frac{m}{n}$ である。左辺は正だから、$m,n$ は同符号である。

ここで $M=|m|,N=|n|$ とおくと $|z{|}^2=x^2+y^2=\frac{M}{N}$ である。条件 $|z|\geqq 1$ より $\frac{M}{N}\geqq 1$ すなわち $N\leqq M$ である。また $y^2=\frac{M}{N}-\frac{M^2}{4}\geqq 0$ より $\frac{M}{N}\geqq \frac{M^2}{4}$ である。$M>0$ なので $MN\leqq 4$ を得る。

したがって、$N\leqq M$ かつ $MN\leqq 4$ を満たす正整数の組 $(M,N)$ を列挙すると $(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(4,1)$ である。

それぞれを点に戻す。 $(M,N)=(1,1)$ のとき $x=\pm \frac{1}{2},|z{|}^2=1,y^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ なので $z=\pm \frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$ である。 $(M,N)=(2,1)$ のとき $x=\pm 1,|z{|}^2=2,y^2=1$ なので $z=\pm 1\pm i$ である。 $(M,N)=(2,2)$ のとき $x=\pm 1,|z{|}^2=1,y=0$ なので $z=\pm 1$ である。 $(M,N)=(3,1)$ のとき $x=\pm \frac{3}{2},|z{|}^2=3,y^2=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$ なので $z=\pm \frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$ である。 $(M,N)=(4,1)$ のとき $x=\pm 2,|z{|}^2=4,y=0$ なので $z=\pm 2$ である。

以上より、求める集合は $\{yi\mid |y|\geqq 1\}$ と、次の16個の点 $\pm 2,\pm 1,\pm 1\pm i,$ $\pm \frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i,\pm \frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$ との和集合である。ただし、$\pm$ はそれぞれ可能な符号をすべてとる。

別解。 $z=r{e}^{i\theta }$ と見ると、実部の条件は $2r\cos \theta \in \mathbb{Z},\frac{2\cos \theta }{r}\in \mathbb{Z}$ である。これらをそれぞれ $m,n$ とおくと、掛け合わせて $mn=4{\cos }^2\theta \leqq 4$ を得る。また割り算から $r^2=\frac{m}{n}$ となり、$r\geqq 1$ から $|m|\geqq |n|$ である。結局、上と同じく $N\leqq M$、$MN\leqq 4$ の列挙に帰着する。