東京大学 1998年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$r > 0, 0 ≦ θ ≦ π /4$ に対し $f (x) = r sin (x + θ)$ とする．

(1) $\int_{0}^{2 π} (sin x - f (x))^{2} d x = \int_{0}^{2 π} sin^{2} x d x$ を満たすとき、 $r$ を $θ$ で表せ．

(2) 条件を保って $r, θ$ を動かしたとき、 $0 ≦ x ≦ π$ でのグラフが動く範囲 $D$ を求め、図示せよ．

(3) $D$ の面積を求めよ．

出典：東京大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

(1) 展開後、1周期の三角関数の積分を計算する。(2) $f (x) = sin x + sin (x + 2 θ)$ と直し、固定した $x$ で $2 θ \in [0, π /2]$ を動かしたときの最大・最小を3区間に分ける。(3) 上下境界の差を積分する。

与式を展開し、両辺の $\int sin^{2} x d x$ を消すと

r^{2} \int_{0}^{2 π} sin^{2} (x + θ) d x = 2 r \int_{0}^{2 π} sin x sin (x + θ) d x .

1周期の積分より

\int_{0}^{2 π} sin^{2} (x + θ) d x = π, \int_{0}^{2 π} sin x sin (x + θ) d x = π cos θ .

$r > 0$ だから

r = 2 cos θ .

加法定理から

f (x) = 2 cos θ sin (x + θ) = sin x + sin (x + 2 θ) .

$ϕ = 2 θ$ とおけば $0 ≦ ϕ ≦ π /2$ である。固定した $x$ について $sin (x + ϕ)$ の範囲を調べると

⎩ ⎨ ⎧ 2 sin x ≦ y ≦ 1 + sin x sin x + cos x ≦ y ≦ 1 + sin x sin x + cos x ≦ y ≦ 2 sin x (0 ≦ x ≦ \frac{π}{4}), (\frac{π}{4} ≦ x ≦ \frac{π}{2}), (\frac{π}{2} ≦ x ≦ π) .

これらの不等式で表される領域が $D$ である。境界は

y = 2 sin x, y = 1 + sin x, y = sin x + cos x

の該当部分からなる。

従って面積は

∣ D ∣ = = = \int_{0}^{π /4} (1 - sin x) d x + \int_{π /4}^{π /2} (1 - cos x) d x + \int_{π /2}^{π} (sin x - cos x) d x (\frac{π}{4} + \frac{2}{2} - 1) + (\frac{π}{4} - 1 + \frac{2}{2}) + 2 \frac{π}{2} + 2 .