東京大学 1998年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$P_{1} = (0, 10)$ を中心とする半径1の円周 $C_{1}$ と、 $P_{2} = (0, 0)$ を中心とする半径2の円周 $C_{2}$ を考える． $∠ QR S = 9 0^{\circ}$ の直角二等辺三角形 $△ QR S$ について答えよ．

(1) $Q \in C_{1}, R \in C_{2}$ のとき、 $S$ の軌跡を求めよ．

(2) 直線 $x + 2 y = 10$ 上の点 $P_{3}$ を中心とする半径 $2$ の円周 $C_{3}$ を加える． $Q \in C_{1}, R \in C_{2}, S \in C_{3}$ を満たす三角形がただ1つ定まるとき、 $P_{3}$ を求めよ．

出典：東京大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

$R S$ は $R Q$ を $\pm 9 0^{\circ}$ 回転したベクトルである。回転を $J$ で表し、 $S$ を $Q, R$ の和として表すと、固定中心の周りに長さ1と $22$ のベクトルを足す問題になる。(2) は半径 $2$ の円が得られた環状領域にただ1点で接する条件を調べる。

解答

(1)

ベクトルを反時計回りに $9 0^{\circ}$ 回転する写像を $J$ とする。直角二等辺条件から

R S = \pm J R Q,

従って

S = R \pm J (Q - R) = (I \mp J) R \pm J Q .

$Q = P_{1} + q$ 、 $R = P_{2} + r$ とし、

∣ q ∣ = 1, ∣ r ∣ = 2

とする。 $P_{2} = O$ なので、2つの向きに対して $S$ の中心は

\pm J P_{1} = (\mp 10, 0)

である。また $∣ (I \mp J) r ∣ = 2 ∣ r ∣ = 22$ であり、 $\pm J q$ の長さは1である。2つの向きが独立に動くので、その和の長さは

22 - 1 ≦ ρ ≦ 22 + 1

のすべての値をとる。従って軌跡は2つの環状領域

(22 - 1)^{2} ≦ (x - 10)^{2} + y^{2} ≦ (22 + 1)^{2},

(22 - 1)^{2} ≦ (x + 10)^{2} + y^{2} ≦ (22 + 1)^{2}

の和集合である。

(2)

$P_{3}$ を

P_{3} = (10 - 2 t, t)

とおく。直線 $x + 2 y = 10$ と中心 $(- 10, 0)$ との距離は $45$ であり、半径 $2$ の円が左側の環状領域にただ1点で接することはない。従って中心 $(10, 0)$ の環状領域だけを考えればよい。

三角形がただ1つ定まるためには、 $C_{3}$ が外周

(x - 10)^{2} + y^{2} = (22 + 1)^{2}

に外接するか、内周

(x - 10)^{2} + y^{2} = (22 - 1)^{2}

に内接しなければならない。前者では

∣ P_{3} - (10, 0) ∣ = (22 + 1) + 2 = 32 + 1.

左辺は $(- 2 t)^{2} + t^{2} = 5 ∣ t ∣$ だから

t = \pm \frac{3 10 + 5}{5} .

後者では

∣ P_{3} - (10, 0) ∣ = (22 - 1) - 2 = 2 - 1,

従って

t = \pm \frac{10 - 5}{5} .

よって求める点は、複号同順で

(10 \mp \frac{6 10 + 2 5}{5}, \pm \frac{3 10 + 5}{5})

および

(10 \mp \frac{2 10 - 2 5}{5}, \pm \frac{10 - 5}{5}) .

接点では長さ1と $22$ のベクトルが一直線に並ぶため $Q, R$ も一意に定まり、各候補は実際に条件を満たす。

東京大学 1998年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1998年度
後期・理系数学後期第1問