問題
空間に3点，，をとる。を1つの面とし，の部分に含まれる正四面体をとる。さらにを1つの面とし，点と異なる点をもう1つの頂点とする正四面体をとる。
(1) 点の座標を求めよ。
(2) 正四面体のの部分の体積を求めよ。
方針
対称性から、正四面体の未知頂点 はどちらも平面 上にある。まず とおき、 から座標を求める。次に とおき、 と、 と異なる側にあるという条件で を選ぶ。(2)では が平面 上、 が 、 が にあるため、辺 と平面 の交点 を使い、同じ底面 を持つ四面体の高さ比で体積比を出す。
解答
(1)
, は 平面に関して対称であり、 はその平面上にある。したがって正四面体 の残りの頂点 も 上にある。 とおく。
正四面体の一辺は である。 より であり、 より である。2式を引くと すなわち だから である。これを に代入すると であり、 側にあるので である。したがって である。
次に とおく。 より である。また より
である。上の と、 について であることを使うと、これは と同値である。
したがって は、円 と直線 の交点である。その一方は であり、もう一方を求めると である。よって である。
別解。点 は、平面 に関して点 を反対側へ移した点である。実際、 からの距離を保ったまま、平面 の反対側へ移る点は正四面体のもう一つの頂点になる。平面 を求めて をその平面に関して対称移動しても、同じく が得られる。
(2)
正四面体 の一辺は2である。正四面体の体積は、底面を正三角形 と見ると、底面積が 、高さが なので である。 , は平面 上にある。また である。辺 と平面 の交点を とすると、 から へ向かう間に 座標は から まで変わる。したがって である。 の部分は四面体 である。四面体 と四面体 は底面 を共有し、第4の頂点が同じ直線 上の と にあるので、体積比は に等しい。よって求める体積は である。