東京大学 1998年度
文系数学 第2問

解答

(1)

$\angle O$ が鋭角である条件は $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}>0$ である。ここで $\overrightarrow{OP}=(1,0)$, $\overrightarrow{OQ}=(a,b)$ だから $a>0$ である。

次に $\angle P$ が鋭角である条件は $\overrightarrow{PO}\cdot \overrightarrow{PQ}>0$ である。$\overrightarrow{PO}=(-1,0)$, $\overrightarrow{PQ}=(a-1,b)$ より $1-a>0$ すなわち $a<1$ である。

最後に $\angle Q$ が鋭角である条件は $\overrightarrow{QO}\cdot \overrightarrow{QP}>0$ である。$\overrightarrow{QO}=(-a,-b)$, $\overrightarrow{QP}=(1-a,-b)$ だから $-a(1-a)+b^2>0$ すなわち $b^2>a(1-a)$ である。

以上より求める条件は $0<a<1,b^2>a(1-a)$ である。さらに $a(1-a)=\frac{1}{4}-{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2$ なので、境界は ${\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+b^2=\frac{1}{4}$ である。したがって図示すべき範囲は、縦帯 $0<a<1$ の中で、この円の外側にある部分である。境界はすべて含まない。なおこの条件では自動的に $b\ne 0$ である。

(2)

まず $n=0$ のとき、左辺は $m^2-m=m(m-1)$ である。整数 $m$ について、連続する2整数の積 $m(m-1)$ は0以上であるから、この場合は成り立つ。

以下 $n\ne 0$ とする。(1)より $b^2>a(1-a)$ であるから、$n^2>0$ に注意して

である。右辺を整理すると

となる。

この式を $L(a)$ とおくと、$L(a)$ は $a$ の一次式である。端点での値は $L(0)=m(m-1)$ および $L(1)=m(m-1)+n(2m+n-1)=(m+n)(m+n-1)$ である。$m$, $m+n$ は整数なので、どちらも連続する2整数の積であり0以上である。 $0<a<1$ では、一次式 $L(a)$ の値は $L(0)$ と $L(1)$ の間にある。したがって $L(a)\geqq 0$ である。よって $(m+na{)}^2-(m+na)+n^2{b}^2>L(a)\geqq 0$ となり、特に $(m+na{)}^2-(m+na)+n^2{b}^2\geqq 0$ が成り立つ。