東京大学 1997年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$1$ 以上 $N$ 以下の整数を等確率で独立に2回発生させ、各整数の下4桁だけを表示する。同じ4桁が表示される確率を $p_{N}$ とする。

(1) $p_{10000}$ を求めよ。

(2) $p_{10000}, p_{10001}$ の大小と差を有効数字1桁で求めよ。

(3) $p_{10000}, \dots, p_{20000}$ の最小値 $q$ と最大値 $r$ を求めよ。

(4) すべての整数 $N ≧ 10000$ で $q ≦ p_{N} ≦ r$ を示せ。

出典：東京大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

各表示値を生じる整数の個数の二乗和として確率を表す。まず $N = 10000 + k$ を微分で調べ、一般の $N = 10000 m + k$ はコーシー・シュワルツによる下界と連続変数での上界で評価する。

解答

(1)

$N = 10000$ では10000種類の表示が各1回ずつ対応するので

p_{10000} = \frac{1}{10000} .

(2)

$N = 10001$ では一つの表示だけが2個の整数に対応し、残り9999種類は1個ずつ対応する。従って

p_{10001} = \frac{2 ^{2} + 9999}{1000 1 ^{2}} = \frac{10003}{1000 1 ^{2}} > \frac{1}{10000} .

差は

p_{10001} - p_{10000} = \frac{9999}{10000 \cdot 1000 1 ^{2}} ≒ 9.997 \times 1 0^{- 9} .

有効数字1桁では $1 \times 1 0^{- 8}$ である。(3) $N = 10000 + k$ $(0 ≦ k ≦ 10000)$ とおくと、 $k$ 種類が2回、 $10000 - k$ 種類が1回現れるから

p_{N} = \frac{4 k + ( 10000 - k )}{( 10000 + k ) ^{2}} = \frac{10000 + 3 k}{( 10000 + k ) ^{2}} .

右辺を実数 $k$ の関数とみなすと、導関数の符号は $10000 - 3 k$ の符号に一致する。従って整数では $k = 3333, 3334$ を比較し、最大は $k = 3333$ で

r = p_{13333} = \frac{19999}{177768889} .

最小は端点で実現し、両端の値が $1/10000$ なので

q = \frac{1}{10000} .

(4)

一般に各表示値を生じる整数の個数を $c_{1}, \dots, c_{10000}$ とすれば、 $\sum c_{j} = N$ かつ

p_{N} = \frac{\sum c _{j}^{2}}{N ^{2}} .

コーシー・シュワルツの不等式から $N^{2} ≦ 10000 \sum c_{j}^{2}$ なので $p_{N} ≧ q$ である。次に $N = 10000 m + k$ $(m ≧ 1, 0 ≦ k < 10000)$ とおく。 $k$ 種類の個数が $m + 1$ 、残りが $m$ だから

p_{N} = \frac{10000 m ^{2} + ( 2 m + 1 ) k}{( 10000 m + k ) ^{2}} .

$m = 1$ は(3)より $p_{N} ≦ r$ である。 $m ≧ 2$ では、右辺を実数 $k$ で最大化すると $k = 10000 m / (2 m + 1)$ であり、その値は

\frac{1}{10000} (1 + \frac{1}{4 m ( m + 1 )}) ≦ \frac{1}{9600} .

さらに

\frac{1}{9600} < \frac{19999}{177768889} = r

だから $p_{N} < r$ である。以上より、すべての $N ≧ 10000$ で $q ≦ p_{N} ≦ r$ が成り立つ。

東京大学 1997年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(4)

東京大学 1997年度
後期・理系数学後期第3問