東京大学 1997年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$A = (h, k)$ が $∣ hk ∣ < 1, k > 0$ を満たして動く。 $x < 0$ における $y = 1/∣ x ∣$ のグラフを $H$ 、 $x > 0$ の部分を $K$ とする。 $A$ から $H, K$ へ引いた接線が、それぞれ接点 $D, E$ を通って $x$ 軸と交わる点を $B, C$ とし、各接点は $A$ と $x$ 軸上の点の間にある。

(1) $△ A B C$ の面積の範囲を求めよ。

(2) $△ A D E$ の面積の範囲を求めよ。

出典：東京大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

左右の双曲線上の接点を正の変数で置き、接線が $A$ を通る条件を解く。面積を $t = hk$ だけの式にし、 $1 + t + 1 - t$ の範囲へ帰着する。

解答

$A = (h, k)$ 、 $t = hk$ とおくと、 $k > 0$ 、 $- 1 < t < 1$ である。 $D = (- u, 1/ u)$ $(u > 0)$ における $H : y = - 1/ x$ の接線は

y = \frac{x}{u ^{2}} + \frac{2}{u} .

これが $A$ を通る条件は $k u^{2} - 2 u - h = 0$ である。 $D$ が $A, B$ の間にある根を選ぶと

u = \frac{1 + 1 + t}{k}, B = (- 2 u, 0) .

同様に $E = (v, 1/ v)$ における $K : y = 1/ x$ の接線から

v = \frac{1 + 1 - t}{k}, C = (2 v, 0) .

以下

α = 1 + t, β = 1 - t, s = α + β

とおく。 $- 1 < t < 1$ より $α, β > 0$ 、 $α^{2} + β^{2} = 2$ である。従って $0 < α β ≦ 1$ から

2 < s ≦ 2,

ただし $s = 2$ は $t = 0$ で実現する。(1) $B C = 2 (u + v)$ 、高さは $k$ なので

[A B C] = k (u + v) = 2 + α + β = 2 + s .

よって

2 + 2 < [A B C] ≦ 4.

(2)

$D, E$ はそれぞれ辺 $A B, A C$ 上にあり、 $y$ 座標を比べると

\frac{A D}{A B} = \frac{k - 1/ u}{k} = \frac{α}{1 + α}, \frac{A E}{A C} = \frac{β}{1 + β} .

従って面積比より

[A D E] = [A B C] \frac{α β}{( 1 + α ) ( 1 + β )} .

$α β = (s^{2} - 2) /2$ と $[A B C] = s + 2$ を代入して整理すると

[A D E] = \frac{s ^{2} - 2}{s} = s - \frac{2}{s} .

これは $s > 0$ で狭義増加し、 $2 < s ≦ 2$ だから

0 < [A D E] ≦ 1.

東京大学 1997年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(2)

東京大学 1997年度
後期・理系数学後期第2問