東京大学 1997年度
文系数学 第4問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文科一類・文科二類・文科三類
- 分野
- 図形と方程式、関数、微分
- 解法
- パラメータ処理、グラフの概形、範囲評価、計算整理
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 18分
問題
0≦t≦1を満たす実数tに対して，xy平面上の点A，Bを
A(3(t+1)2(t2+t+1),−2),B(32t,−2t)
と定める。tが0≦t≦1を動くとき，直線ABの通りうる範囲を図示せよ。
出典：東京大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
まず2点A,Bを通る直線の方程式をtで表す。求める通過領域は、xを固定したときにy=3(t2−1)x−2t3が0≦t≦1で取りうる値の集合として調べる。微分すると符号はt(x−t)で決まるので、x<0, 0≦x≦1, x>1の3つに分けて上下の境界を決める。
解答
2点A,Bの座標を用いて直線ABの方程式を求める。Bを通る直線として y+2t=m(x−32t) とおく。これが点Aを通るので −2+2t=m(3(t+1)2(t2+t+1)−32t) である。括弧内を整理すると 32(t+1t2+t+1−t)=3(t+1)2 であるから m=3(t−1)(t+1)=3(t2−1) を得る。したがって直線ABは y=3(t2−1)x−2t3 で表される。
固定したxに対して ϕ(t)=3(t2−1)x−2t3(0≦t≦1) とおく。微分すると ϕ′(t)=6t(x−t) である。 x<0のとき、0<t≦1でx−t<0だからϕ(t)は単調減少である。端点の値は ϕ(0)=−3x,ϕ(1)=−2 なので −2≦y≦−3x である。 0≦x≦1のとき、ϕ′(t)は0<t<xで正、x<t<1で負である。したがって最大値はt=xで ϕ(x)=3(x2−1)x−2x3=x3−3x である。最小値は端点の小さい方なので min(−3x,−2)≦y≦x3−3x である。 x>1のとき、0<t<1でx−t>0だからϕ(t)は単調増加である。よって −3x≦y≦−2 である。
以上より、直線ABの通りうる範囲は
⎩⎨⎧−2≦y≦−3xmin(−3x,−2)≦y≦x3−3x−3x≦y≦−2(x<0),(0≦x≦1),(x>1)
で表される領域である。図示すると、左右では直線y=−3xとy=−2にはさまれ、中央0≦x≦1では上側境界が曲線y=x3−3xになる。
