東京大学 1997年度
文系数学 第1問

解答

(1)

$s=a+b,p=ab$ とおく。すると $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=s^2-2p$ であるから $s^2-2p=16$ を得る。したがって $p=\frac{s^2-16}{2}$ である。

また $a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)=s^3-3ps$ である。条件$a^3+b^3=44$に$p=\frac{s^2-16}{2}$を代入すると $s^3-3s\cdot \frac{s^2-16}{2}=44$ となる。両辺を2倍して整理すると $2s^3-3s^3+48s=88$ すなわち $s^3-48s+88=0$ である。これは $(s-2)(s^2+2s-44)=0$ と因数分解できるので、候補は $s=2,s=-1+3\sqrt{5},s=-1-3\sqrt{5}$ である。

ただし、$a,b$が実数として存在するには、$a,b$を2根にもつ方程式 $X^2-sX+p=0$ の判別式が0以上でなければならない。すなわち $s^2-4p\geqq 0$ である。ここに$p=\frac{s^2-16}{2}$を代入すると $s^2-2(s^2-16)\geqq 0$ より $32-s^2\geqq 0$ である。上の3つの候補のうち、この条件を満たすのは$s=2$だけである。したがって $a+b=2$ である。

(2)

(1)より $ab=\frac{(a+b{)}^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{4-16}{2}=-6$ である。したがって$a,b$は $X^2-2X-6=0$ の2根である。よって $a^2=2a+6,b^2=2b+6$ が成り立つ。 $u_n=a^n+b^n$ とおく。上の等式にそれぞれ$a^{n-2}$, $b^{n-2}$を掛けて加えると、$n\geqq 2$について $u_n=2u_{n-1}+6u_{n-2}$ である。特に $u_2=a^2+b^2=16,u_3=a^3+b^3=44$ はどちらも4で割り切れる整数である。

ここで、ある$n\geqq 4$について$u_{n-1}$と$u_{n-2}$が4で割り切れる整数であると仮定すると、$u_n=2u_{n-1}+6u_{n-2}$ も整数であり、しかも右辺は4で割り切れる。したがって数学的帰納法により、すべての整数$n\geqq 2$について $a^n+b^n$ は4で割り切れる整数である。

別解。(2)は二項展開でも示せる。(1)より$a,b$は$X^2-2X-6=0$の2根なので $a=1+\sqrt{7},b=1-\sqrt{7}$ である。したがって $a^n+b^n=(1+\sqrt{7}{)}^n+(1-\sqrt{7}{)}^n$ である。二項展開すると、$\sqrt{7}$の奇数乗の項は打ち消し合うので $a^n+b^n=2{\sum }_j{}_n{\mathrm{C}}_{2j}{7}^j$ となる。よって整数である。また4で割った余りを考えるには、括弧内の和の偶奇を見ればよい。$7$は奇数なので ${\sum }_j{}_n{\mathrm{C}}_{2j}{7}^j\equiv {\sum }_j{}_n{\mathrm{C}}_{2j}(\mathrm{mod}2)$ である。右辺は偶数番目の二項係数の和であり、$n\geqq 2$では ${\sum }_j{}_n{\mathrm{C}}_{2j}=2^{n-1}$ で偶数である。したがって$a^n+b^n$は4で割り切れる。