東京大学 1997年度
文系数学 第3問

解答

$P=(x,y,z)$とする。まず$PA=PB$より $(x-1{)}^2+y^2+z^2=x^2+(y-1{)}^2+z^2$ である。整理すると $x=y$ を得る。

また$PC=PO$より $x^2+y^2+(z-1{)}^2=x^2+y^2+z^2$ であるから $z=\frac{1}{2}$ である。そこで $P=\left(s,s,\frac{1}{2}\right)$ とおく。

残った条件$PA=rPO$を2乗して用いる。左辺は $P{A}^2=(s-1{)}^2+s^2+\frac{1}{4}=2s^2-2s+\frac{5}{4}$ であり、右辺は $r^{2}P{O}^2=r^2\left(2s^2+\frac{1}{4}\right)$ である。したがって $2s^2-2s+\frac{5}{4}=r^2\left(2s^2+\frac{1}{4}\right)$ すなわち $2(1-r^2)s^2-2s+\frac{5-r^2}{4}=0$ である。

この方程式が$s$について相異なる2つの実数解をもてば、条件を満たす点$P$が2つ存在する。ただし$r=1$のときは2次の係数が0になり、方程式は1次式になるので2点は得られない。 $r\ne 1$として判別式を計算すると $(-2{)}^2-4\cdot 2(1-r^2)\cdot \frac{5-r^2}{4}=-2r^4+12r^2-6$ である。相異なる2実根をもつ条件は $-2r^4+12r^2-6>0$ であり、これは $r^4-6r^2+3<0$ と同値である。$R=r^2$とおくと $R^2-6R+3<0$ であるから $3-\sqrt{6}<r^2<3+\sqrt{6}$ を得る。さらに$r=1$は除く。

よって条件は $3-\sqrt{6}<r^2<3+\sqrt{6},r\ne 1$ である。このとき、2つの$s$は $s=\frac{2\pm \sqrt{-2r^4+12r^2-6}}{4(1-r^2)}$ である。したがって2点の座標は

および

である。