東京大学 1996年度文系数学第4問解答・解説

問題

$x y z$ 空間において，点 $P$ を $(1, 0, 1)$ ，点 $Q$ を $(a, a + 1, 0)$ とする。線分 $P Q$ を $z$ 軸のまわりに1回転して得られる曲面と平面 $z = 1$ および $x y$ 平面で囲まれる部分の体積を $V (a)$ とおく。 $a$ が実数全体を動くときの $V (a)$ の最小値およびそれを与える $a$ の値を求めよ。

出典：東京大学 1996年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

線分 $P Q$ 上の点を高さ $z$ で表し，その点の $z$ 軸からの距離を回転半径として読む。高さ $z$ の断面は半径 $x (z)^{2} + y (z)^{2}$ の円板になるので，体積は断面積 $π {x (z)^{2} + y (z)^{2}}$ を $0 ≦ z ≦ 1$ で積み上げればよい。得られる $V (a)$ は $a$ の二次式なので，積分後に平方完成して最小値とそのときの $a$ を求める。

解答

線分 $P Q$ 上で高さが $z$ である点を $(x (z), y (z), z)$ とする。 $Q$ の高さは $0$ ， $P$ の高さは $1$ であるから， $0 ≦ z ≦ 1$ に対して $(x (z), y (z), z) = (1 - z) (a, a + 1, 0) + z (1, 0, 1)$ と表せる。したがって $x (z) = a + (1 - a) z, y (z) = (a + 1) (1 - z)$ である。

この点を $z$ 軸のまわりに回転すると，高さ $z$ における半径は $x (z)^{2} + y (z)^{2}$ である。よって断面積は $π {x (z)^{2} + y (z)^{2}}$ となり， $V (a) = π \int_{0}^{1} [{a + (1 - a) z}^{2} + {(a + 1) (1 - z)}^{2}] d z$ である。

積分するために中身を展開すると ${a + (1 - a) z}^{2} + {(a + 1) (1 - z)}^{2} = 2 a^{2} + 2 a + 1 + (- 4 a^{2} - 2 a - 2) z + (2 a^{2} + 2) z^{2}$ である。したがって

\frac{V ( a )}{π} = 2 a^{2} + 2 a + 1 + \frac{- 4 a ^{2} - 2 a - 2}{2} + \frac{2 a ^{2} + 2}{3} = \frac{2 a ^{2} + 3 a + 2}{3}

となる。

よって $V (a) = \frac{π}{3} (2 a^{2} + 3 a + 2)$ である。ここで $2 a^{2} + 3 a + 2 = 2 (a + \frac{3}{4})^{2} + \frac{7}{8}$ だから， $V (a)$ は $a = - \frac{3}{4}$ のとき最小となる。その最小値は $\frac{π}{3} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7 π}{24}$ である。

別解。平面上のベクトル $p = (1, 0)$ ， $q = (a, a + 1)$ を用いると，高さ $z$ の回転半径を表すベクトルは $(1 - z) q + z p$ である。したがって $\int_{0}^{1} ∣ (1 - z) q + z p ∣^{2} d z = \frac{∣ q ∣ ^{2} + p \cdot q + ∣ p ∣ ^{2}}{3}$ が成り立つ。ここで $∣ q ∣^{2} = 2 a^{2} + 2 a + 1, p \cdot q = a, ∣ p ∣^{2} = 1$ であるから，ただちに $V (a) = \frac{π}{3} (2 a^{2} + 3 a + 2)$ を得る。あとは同じ平方完成で $a = - 3/4$ ，最小値 $7 π /24$ となる。

東京大学 1996年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

東京大学 1996年度
文系数学第4問