東京大学 1996年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a$ を実数とする。行列

X = (x y - y x)

が

X^{2} - 2 X + a E = O

を満たすような実数 $x$ ， $y$ を求めよ。ただし，

E = (1001), O = (0000)

とする。

出典：東京大学 1996年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

まず行列の積を成分で計算し，零行列になる条件を対角成分と非対角成分に分ける。非対角成分は積の形になり，ここから $y = 0$ と $x = 1$ の二つの場合だけを調べればよいことが分かる。それぞれで残った実数方程式を解き，最後に $a < 1$ ， $a = 1$ ， $a > 1$ の境目で解の重複がないように整理する。なお，同じ形の行列を複素数 $x + y i$ に対応させると，別解として二次方程式 $(z - 1)^{2} = 1 - a$ に直すこともできる。

解答

行列の積は

X^{2} = (x^{2} - y^{2} 2 x y - 2 x y x^{2} - y^{2})

である。したがって

X^{2} - 2 X + a E = (x^{2} - y^{2} - 2 x + a 2 y (x - 1) 2 y (1 - x) x^{2} - y^{2} - 2 x + a)

となる。これが零行列であることは $x^{2} - y^{2} - 2 x + a = 0, 2 y (x - 1) = 0$ と同値である。

まず $y = 0$ の場合を考える。このとき $x^{2} - 2 x + a = 0$ であり， $(x - 1)^{2} = 1 - a$ となる。よって実数解をもつのは $a ≦ 1$ のときで，そのとき $x = 1 \pm 1 - a, y = 0$ である。

次に $x = 1$ の場合を考える。このとき $1 - y^{2} - 2 + a = 0$ すなわち $y^{2} = a - 1$ である。よって実数解をもつのは $a ≧ 1$ のときで，そのとき $x = 1, y = \pm a - 1$ である。

ただし $a = 1$ では，前者からも後者からも同じ解 $(x, y) = (1, 0)$ が得られる。したがって求める実数 $x, y$ は

⎩ ⎨ ⎧ (x, y) = (1 + 1 - a, 0), (1 - 1 - a, 0) (x, y) = (1, 0) (x, y) = (1, a - 1), (1, - a - 1) (a < 1), (a = 1), (a > 1)

である。

別解。同じ形の行列

(x y - y x)

を複素数 $z = x + y i$ に対応させると，行列の加法・乗法は複素数の加法・乗法と同じ形になる。したがって与えられた式は $z^{2} - 2 z + a = 0$ すなわち $(z - 1)^{2} = 1 - a$ に対応する。 $a < 1$ なら $z = 1 \pm 1 - a$ ， $a = 1$ なら $z = 1$ ， $a > 1$ なら $z = 1 \pm a - 1 i$ である。実部と虚部を読むと，上で得た $(x, y)$ と一致する。

東京大学 1996年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

東京大学 1996年度
文系数学第1問