東京大学 1995年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

1から13のカードから $A, B$ が2枚ずつ持つ。 $A$ が先に1枚公開し、 $B$ が応じ、大きい方が1点。残りも同様で、互いに得点最大化する。

(1) $A$ は大きい札を先に出すのが有利か。

(2) 無作為配布時の $A$ の期待得点。

(3) $A$ が和14の組を選び、 $B$ が残りから無作為に2枚選ぶとき、期待値を最大・最小にする組と期待値。

出典：東京大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

両手を小大に並べ、 $B$ が選べる2通りの対応で $A$ の得点を比較する。無作為配布は4枚の順位上の6配置、(3)は得点0・2となる $B$ の組を数える。

解答

$A$ の札を $a_{1} < a_{2}$ 、 $B$ を $b_{1} < b_{2}$ とする。(1) $A$ が $a_{1}$ を先に出したとき、 $B$ の2応答による $A$ の総得点は

I (a_{1} > b_{1}) + I (a_{2} > b_{2}), I (a_{1} > b_{2}) + I (a_{2} > b_{1}) .

$a_{2}$ を先に出すとこの2数の順序が入れ替わるだけである。 $B$ は小さい方を選ぶので、どちらを先に出しても同じ。(2)選ばれた4枚を小さい順に並べ、所有者だけを書く。 $A$ の2位置は6通り等確率で、

AA B B, A B A B, A B B A, B AA B, B A B A, B B AA

に対する最適得点は順に

0, 0, 1, 1, 1, 2.

従って期待値は

\frac{0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2}{6} = \frac{5}{6} .

(3)

$A$ が $(k, 14 - k)$ $(1 ≦ k ≦ 6)$ を選ぶ。残り11枚からの $B$ の組は55通り。 $A$ が2点を得るのは $B$ の2枚がともに $k$ 未満で、その数は $(k - 1) (k - 2) /2$ 。0点となる組と2点となる組の個数の差は $(k - 1) (13 - 2 k)$ である。従って

E_{k} = 1 - \frac{( k - 1 ) ( 13 - 2 k )}{55} .

$k = 1, \dots, 6$ を調べると、最大は $k = 1$ で

(1, 13), E_{m a x} = 1.

最小は $k = 4$ で

(4, 10), E_{m i n} = 1 - \frac{15}{55} = \frac{8}{11} .

東京大学 1995年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(3)

東京大学 1995年度
後期・理系数学後期第3問