東京大学 1995年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$P_{n} = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{3 k}$ 、 $Q_{n} = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{3 k + 1}$ 、 $R_{n} = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{3 k + 2}$ とする。

(1) 次項を $P_{n}, Q_{n}, R_{n}$ で表せ。

(2) 一般項。

(3) $P_{12}, Q_{12}, R_{12}$ 。

出典：東京大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

パスカルの関係で3数の巡回漸化式を作る。3乗根フィルターにより添字の3剰余類だけを抽出し、余弦で実数表示する。

解答

(1)

$_{n + 1} C_{j} =_{n} C_{j} +_{n} C_{j - 1}$ を3剰余類ごとに足すと

P_{n + 1} = P_{n} + R_{n}, Q_{n + 1} = Q_{n} + P_{n}, R_{n + 1} = R_{n} + Q_{n} .

(2)

$ω = cos (2 π /3) + i sin (2 π /3)$ とする。 $1 + ω = cos (π /3) + i sin (π /3)$ である。二項展開に $1, ω, ω^{2}$ を代入して3剰余類を抽出すると

P_{n} = \frac{2 ^{n} + 2 cos ( nπ /3 )}{3},

Q_{n} = \frac{2 ^{n} + 2 cos (( n - 2 ) π /3 )}{3}, R_{n} = \frac{2 ^{n} + 2 cos (( n - 4 ) π /3 )}{3} .

(3)

$n = 12$ では $P$ の余弦が1、 $Q, R$ の余弦が $- 1/2$ なので

P_{12} = 1366, Q_{12} = R_{12} = 1365.

東京大学 1995年度後期・理系数学 後期 第1問

問題