東京大学 1995年度
後期・理系数学 後期 第2問

解答

(1)

他の2頂点を固定すると、面積は残る頂点から対辺直線までの距離に比例する。頂点がどちらかの円板の内部にあれば、対辺から遠ざかる向きへ、その円板の境界に達するまで動かして面積を増やせる。従って最大三角形の各頂点は円周$E$または$F$上にある。(2)$AB$の長さは$2\sqrt{1-p^2}$で一定である。直線$AB$の単位法線を$\mathbf{n}$とすると、中心$P,Q$のこの法線方向への射影差は$|\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{PQ}|\leqq 1$。第3頂点を二円板内で対辺から最も遠く取った高さは最大でも

で、等号には$|\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{PQ}|=1$が必要である。従って$\mathbf{n}\parallel PQ$、すなわち$AB\perp PQ$。(3)(2)の配置で、$AB$を$P$から$Q$と反対側へ距離$p$だけ置き、$C$を$Q$の円の反対端に取れば高さ$2+p$を実現する。従って

微分すると符号は$1-2p-2p^2$で決まり、最大点は

このとき$1-p^2=\sqrt{3}/2$であり

同一円上の3頂点の場合も上の許容配置に含まれるため、これが全体の最大値である。