問題
半径の半球形の器が水平から角だけ傾けて固定されている。ただし，とする。この器に毎秒の割合で水を入れるとき，入れはじめてから秒後に器から水が流れだした。このときのの値を求めよ。
出典：東京大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
半球を半径1の球の一部として見て，あふれる瞬間の水平な水面が口の円の最下点を通ることに注目する。器を だけ傾けると，口の円の最下点は球の中心より だけ下がるので，水の体積は球の下端から高さ までの球冠になる。この体積を断面積の積分で求め，注水量 と等置して の解だけを残す。
解答
半球を半径1の球の一部として考え，球の中心を とする。器の口の円は，傾ける前は中心 を通る水平な円である。器を水平から角 だけ傾けると，口の円の最も低い点は中心 より だけ下にある。
水が流れ出す瞬間，水面は水平で，しかも口の円の最も低い点を通る。したがって，水の入っている部分は半径1の球の下端から高さ までの球冠である。 とおくと， である。球の中心を原点，鉛直上向きを 軸とすれば，水の部分は に対応する。高さ の水平断面は半径 の円なので，断面積は である。よって水の体積は
である。ここで だから，体積は とも書ける。
一方，注水量は毎秒 で，あふれるまでの時間が 秒であるから，入った水の体積は である。両者を等置して を消すと である。18倍して整理すると すなわち となる。因数分解すると である。二次方程式 の解は であり，いずれも に入らない。したがって である。 より となる。