東京大学 1995年度
文系数学 第3問

解答

$P=(u,-u^3+au)$ とおく。ただし，問題の条件より $u>0$ である。曲線 $y=-x^3+ax$ の導関数は $y^{\prime }=-3x^2+a$ であるから，点 $P$ における接線の傾きは $a-3u^2$ である。したがって接線は $y-(-u^3+au)=(a-3u^2)(x-u)$ であり，$x=0$ とおくと $y=-u^3+au-(a-3u^2)u=2u^3$ となる。よって $Q=(0,2u^3)$ である。

原点 $O$ における接線は $y=ax$ である。一方，直線 $OP$ の傾きを $m=\frac{-u^3+au}{u}=a-u^2$ とおく。$OQ$ の方向ベクトルは $(0,1)$，$OP$ の方向ベクトルは $(1,m)$ と見てよい。$OP$ の単位方向ベクトルは $\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}(1,m)$ であるから，内角の二等分線の方向は $(0,1)+\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}(1,m)$ である。この直線の傾きは $\frac{1+m/\sqrt{1+m^2}}{1/\sqrt{1+m^2}}=m+\sqrt{1+m^2}$ である。これが $y=ax$ の傾き $a$ に等しいので $a=m+\sqrt{1+m^2}$ である。$m=a-u^2$ を代入すると $u^2=\sqrt{1+(a-u^2{)}^2}$ を得る。両辺は正なので2乗してよく，$u^4=1+a^2-2a{u}^2+u^4$ より $2a{u}^2=a^2+1$ である。したがって $u^2=\frac{a^2+1}{2a}$ となる。

三角形 $QOP$ は，底辺を $OQ$ と見ると $OQ=2u^3$，点 $P$ から $y$ 軸までの距離が $u$ であるから，$S(a)=\frac{1}{2}\cdot 2u^3\cdot u=u^4$ である。ゆえに $S(a)={\left(\frac{a^2+1}{2a}\right)}^2=\frac{1}{4}{\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2$ となる。$a>0$ なので $a+\frac{1}{a}\geqq 2$ であり，等号は $a=1$ のとき成り立つ。よって $S(a)\text{ の最小値は }1，\text{ そのとき }a=1$ である。

別解。角の二等分条件は距離で表してもよい。直線 $y=ax$ 上の点 $T=(1,a)$ をとる。$T$ は角の二等分線上にあるので，2直線 $OQ$，$OP$ までの距離が等しい。直線 $OQ$ は $x=0$ だから，$T$ からの距離は1である。直線 $OP$ は $y=mx$ なので，$T$ からの距離は $\frac{|a-m|}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{u^2}{\sqrt{1+m^2}}$ である。したがって $1=\frac{u^2}{\sqrt{1+m^2}}$ となり，これは本解で得た $u^2=\sqrt{1+m^2}$ と同じ条件である。以後は同様に $u^2=(a^2+1)/(2a)$，$S(a)=\frac{1}{4}(a+1/a{)}^2$ と進めればよい。