東京大学 1995年度文系数学第2問解答・解説

問題

自然数 $k$ に対し， $x y$ 平面上のベクトル

v_{k} = (cos \frac{k π}{4}, sin \frac{k π}{4})

を考える。 $a$ ， $b$ を正の数とし，平面上の点 $P_{0}, P_{1}, \dots, P_{8}$ を

$P_{0} = (0, 0)$

$P_{2 n} P_{2 n + 1} = a v_{2 n + 1}$ ， $n = 0, 1, 2, 3$

$P_{2 n + 1} P_{2 n + 2} = b v_{2 n + 2}$ ， $n = 0, 1, 2, 3$

により定める。このとき以下の問いに答えよ。

(1) $P_{8} = P_{0}$ であることを示せ。

(2) $P_{0}, P_{1}, \dots, P_{8}$ を順に結んで得られる8角形の面積 $S$ を $a$ ， $b$ を用いて表せ。

(3) 面積 $S$ が7，線分 $P_{0} P_{4}$ の長さが $10$ のとき， $a$ ， $b$ の値を求めよ。

出典：東京大学 1995年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

8本の辺ベクトルを成分で追い，まず $P_{8} = P_{0}$ をベクトル和で示す。面積は頂点座標を表にしてから公式に代入すると，符号の取り違えを抑えられる。(3) では面積式と $P_{4}$ の座標から得られる長さの式を連立し，先に $2 ab$ と $a^{2} + b^{2}$ を決めてから $a, b$ を復元する。

解答

(1)

$v_{k + 4} = - v_{k}$ であるから，

v_{1} + v_{3} + v_{5} + v_{7} = 0, v_{2} + v_{4} + v_{6} + v_{8} = 0

である。よって

P_{0} P_{8} = a (v_{1} + v_{3} + v_{5} + v_{7}) + b (v_{2} + v_{4} + v_{6} + v_{8}) = 0

となる。したがって $P_{8} = P_{0}$ である。

(2)

$h = 1/ 2$ とおく。各辺を順に加えると，頂点の座標は

点 P_{0} P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5} P_{6} P_{7} 座標 (0, 0) (ah, ah) (ah, ah + b) (0, b + 2 ah) (- b, b + 2 ah) (- b - ah, b + ah) (- b - ah, ah) (- b, 0)

である。 $P_{8} = P_{0}$ として，面積公式 $2 S = \sum_{i = 0}^{7} (x_{i} y_{i + 1} - y_{i} x_{i + 1})$ を用いる。各項を順に計算すると，0でない項は

abh, abh + a^{2}, b^{2} + 2 abh, a^{2} + 2 abh, b^{2} + abh, abh

である。したがって $2 S = 2 a^{2} + 2 b^{2} + 8 abh = 2 a^{2} + 2 b^{2} + 42 ab$ となる。よって $S = a^{2} + b^{2} + 22 ab$ である。

(3)

(2)より $a^{2} + b^{2} + 22 ab = 7$ である。また $P_{4} = (- b, b + 2 ah) = (- b, b + 2 a)$ だから， $P_{0} P_{4} = 10$ より $b^{2} + (b + 2 a)^{2} = 10$ である。左辺を展開して2で割ると $a^{2} + b^{2} + 2 ab = 5$ を得る。これと面積式を引き比べて $2 ab = 2, a^{2} + b^{2} = 3$ である。

したがって $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab = 3 + 22 = (1 + 2)^{2}$ であり， $a, b > 0$ なので $a + b = 1 + 2$ である。また $(a - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab = 3 - 22 = (2 - 1)^{2}$ である。よって ${a, b} = {1, 2}$ となり，順序も含めて $(a, b) = (1, 2), (2, 1)$ である。

東京大学 1995年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 1995年度
文系数学第2問