問題
ある会社である工事を受注した．その工事はまず第1工程，第2工程，検査の順に行い，3つの作業はそれぞれ1日を必要とする．検査では第1工程，第2工程に欠陥があるかないかがわかる．検査の結果第1工程に欠陥があれば，工事は第1工程，第2工程ともやり直し，改めて検査をする．第1工程に欠陥がなく第2工程のみに欠陥があれば，第2工程のみやり直して検査する．これらの作業は日曜日を除いて引き続いて行い，検査の結果第1，第2工程ともに欠陥がなければ工事は終了する．各工程ではそれまでの経過とは独立に確率で欠陥が発生するものとする．月曜日から工事を始めた場合週間以内にその工事が終了する確率をとする．
(1) を求めよ．
(2) を求めよ．
(3) のときを満たす最小の正整数を求めよ．
出典：東京大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 理科第3問
方針
週間を 作業日と数える。両工程のやり直し回数を 、第2工程だけのやり直し回数を とし、所要日数 と確率を数える。
解答
とおく。第1工程の欠陥により両工程をやり直す回数を 、第2工程だけをやり直す回数を とする。この後に両工程が合格する確率は 、作業日数は である。
(1)
1週間は6作業日なので、可能な は である。よって
(2)
として内側の等比数列を足し、 を組にすると、打ち切られる項の指数はいずれも となる。したがって
(3)
のとき
では 、 では であり、この値は とともに減少する。よって最小の正整数は である。