東京大学 1994年度後期・理系数学後期理科第1問解答・解説

問題

正の整数 $m$ と $k = 1, 2, \dots, m$ に対して $0 ≦ a_{k} ≦ k$ を満たす整数 $a_{1}, \dots, a_{m}$ があたえられたときに

[a_{m}, a_{m - 1}, \dots, a_{1}]_{m} = a_{m} \cdot m! + a_{m - 1} \cdot (m - 1)! + \dots + a_{1} \cdot 1!

とおく．ただし $a_{m} \neq = 0$ とする．

(1) $[m, m - 1, \dots, 1]_{m} = [1, 0, \dots, 0]_{m + 1} - 1$ を証明せよ．

(2) すべての正の整数は $[a_{m}, a_{m - 1}, \dots, a_{1}]_{m}$ の形にただ一通りに表示できることを証明せよ．

(3) $n$ が5以上の整数のとき $\frac{n !}{5}$ を $[a_{m}, a_{m - 1}, \dots, a_{1}]_{m}$ の形に表示せよ．

出典：東京大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期理科第1問

方針

(1)は $k \cdot k! = (k + 1)! - k!$ で望遠和にする。(2)は最大の階乗から順に整数の除法を行い、存在と一意性を示す。(3)は $n = 5 q + r$ と分け、同じ除法を上位桁から行う。

解答

(1)

[m, m - 1, \dots, 1]_{m} = k = 1 \sum m k \cdot k! = k = 1 \sum m {(k + 1)! - k!} = (m + 1)! - 1

であるから、所要の等式が成り立つ。

(2)

正の整数 $N$ に対し、 $m! ≦ N < (m + 1)!$ となる $m$ を選ぶ。整数の除法により

N = a_{m} m! + R_{m}, 0 ≦ R_{m} < m!

とする。上の範囲から $1 ≦ a_{m} ≦ m$ である。次に $R_{m}$ を $(m - 1)!$ で割り、この操作を $1!$ まで続けると

N = a_{m} m! + a_{m - 1} (m - 1)! + \dots + a_{1} 1!, 0 ≦ a_{k} ≦ k

を得るので表示は存在する。各段階の商と余りは整数の除法によりただ一通りであるから、表示も一意である。

(3)

$n = 5 q + r (0 ≦ r ≦ 4)$ とおく。書いていない下位桁を0とすれば

\frac{n !}{5} = ⎩ ⎨ ⎧ [q, 0, \dots, 0]_{n - 1}, [q, q, 0, \dots, 0]_{n - 1}, [q, 2 q, 2 q, 0, \dots, 0]_{n - 1}, [q, 3 q + 1, q, q, 0, \dots, 0]_{n - 1}, [q, 4 q + 2, 2 q, 4 q, 4 q, 0, \dots, 0]_{n - 1}, r = 0, r = 1, r = 2, r = 3, r = 4.

実際、 $n! /5 = (q + r /5) (n - 1)!$ に (2) の除法を順に適用すればこの桁列を得る。例えば $r = 3$ の下位への余りは $\frac{1}{5} (n - 2)!, \frac{1}{5} (n - 3)!, 0$ と続き、 $r = 4$ でも同様に計算できる。各桁は対応する上限以下である。

東京大学 1994年度後期・理系数学 後期 理科第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 1994年度
後期・理系数学後期理科第1問