東京大学 1993年度後期・理系数学後期理科第3問解答・解説

問題

放物線の一部 $y = x^{2}$ ， $0 ≦ x ≦ 2$ ，を $y$ 軸のまわりに回転してできる回転体型の容器に水を満たし，このなかに，半径 $r$ の鉛の球を，それが容器につかえて止るまでゆっくり沈めた．ただし，鉛直線を $y$ 軸とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1) もとの水面に高さから球の中心の高さを引いた差 $s$ を $r$ の関数として表せ．

(2) あふれ出る水の体積を最大にする $r$ の値を求めよ．

出典：東京大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期理科第3問

球の中心を $y$ 軸上の高さ $h$ に置き、底、放物面、上端の縁のどこで最初に止まるかを半径で分ける。(2)は水面下に入る球の体積を、全球または球冠として表し、各範囲で増減を調べる。

球の中心の高さを $h$ とする。 $0 < r ≦ 1/2$ では球は底に接して止まり $h = r$ である。

側面に接する場合、接点の動径を $x > 0$ とする。球の下側は

y = h - r^{2} - x^{2}

であり、放物線 $y = x^{2}$ と接するから

2 x = \frac{x}{r ^{2} - x ^{2}} .

従って $r^{2} - x^{2} = 1/2$ 、すなわち

x^{2} = r^{2} - \frac{1}{4}, h = x^{2} + \frac{1}{2} = r^{2} + \frac{1}{4} .

接点が容器の側面 $x ≦ 2$ にある条件は $r ≦ 17 /2$ である。これより大きい球は上端の円 $x = 2, y = 4$ に接して止まり

h = 4 + r^{2} - 4 .

もとの水面は高さ4だから、求める差は

s (r) = ⎩ ⎨ ⎧ 4 - r, \frac{15}{4} - r^{2}, - r^{2} - 4, 0 < r ≦ 1/2, 1/2 ≦ r ≦ 17 /2, r ≧ 17 /2.

あふれる体積は球のうち平面 $y = 4$ より下に入る部分の体積である。 $r ≦ 3/2$ では球全体が水面下にあり

V = \frac{4 π r ^{3}}{3}

で、これは増加する。

$3/2 < r ≦ 17 /2$ では、水面下の球冠の高さは

H = r + s = r + \frac{15}{4} - r^{2}

である。球冠の体積は

V = \frac{π}{3} H^{2} (3 r - H) .

微分すると、その符号は $H - (2 r - 1)$ の符号に一致する。従って最大となるのは

- r^{2} + r + \frac{15}{4} = 2 r - 1

を満たすとき、すなわち

r = 5 - \frac{1}{2} .

$r ≧ 17 /2$ では $H = r - r^{2} - 4$ となり、直接微分すると $V$ は減少する。境界値も上の極大値より小さい。よって求める半径は

r = 5 - \frac{1}{2} .