東京大学 1993年度後期・理系数学後期理科第1問解答・解説

問題

$n$ を3以上の自然数とする． $x y$ 平面上，原点を中心とし，点 $(1, 0)$ をひとつの頂点にもつ正 $n$ 角形を $P$ とする．

(1) $P$ の像が $P$ に完全に重なるような1次変換を表す行列をすべて求めよ．

(2) (1)で求めた行列すべての和を求めよ．

出典：東京大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期理科第1問

方針

正多角形を保つ一次変換は原点を固定する合同変換であり、 $n$ 個の回転と $n$ 個の鏡映からなる。各行列を角度で列挙し、三角関数の等間隔和が0であることから総和を求める。

解答

(1)

$k = 0, 1, \dots, n - 1$ とする。正 $n$ 角形を自身へ移す変換は、 $2 π k / n$ の回転

R_{k} = (cos \frac{2 k π}{n} sin \frac{2 k π}{n} - sin \frac{2 k π}{n} cos \frac{2 k π}{n})

と、原点を通り偏角 $k π / n$ の直線に関する鏡映

S_{k} = (cos \frac{2 k π}{n} sin \frac{2 k π}{n} sin \frac{2 k π}{n} - cos \frac{2 k π}{n})

の合計 $2 n$ 個である。実際、頂点 $(1, 0)$ の像を選んだ後、隣の頂点を時計回り・反時計回りのどちらへ移すかでこの2種類に限られる。

(2)

$n ≧ 3$ では

k = 0 \sum n - 1 cos \frac{2 k π}{n} = 0, k = 0 \sum n - 1 sin \frac{2 k π}{n} = 0.

従って $R_{k}$ 全体の和も $S_{k}$ 全体の和も零行列である。求める総和は

(0000) .

東京大学 1993年度後期・理系数学 後期 理科第1問

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