東京大学 1993年度後期・理系数学後期理科第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面において，直線 $l$ と点 $A$ の距離を $d (l, A)$ と書くことにする．さらに，相異なる3点 $A = (x_{1}, y_{1})$ ， $B = (x_{2}, y_{2})$ ， $C = (x_{3}, y_{3})$ が与えられたとき

f (l) = d (l, A)^{2} + d (l, B)^{2} + d (l, C)^{2}

とおく．

(1) ある与えられた直線に平行な直線のうち， $f (l)$ を最小にする直線 $l_{0}$ は三角形 $A B C$ の重心を通ることを示せ．

(2) 異なる3本の直線が $f (l)$ を最小にするならば，三角形 $A B C$ は正三角形であることを示せ．

出典：東京大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期理科第2問

固定方向の直線を単位法線ベクトルで表し、切片について平方和を完成させる。(2)は重心を原点に移し、方向ごとの最小値を二次形式として表す。3方向で最小なら方向に依存しないことを示し、座標条件から正三角形を導く。

与えられた方向に垂直な単位ベクトルを $u$ とし、平行な直線を

u \cdot x = h

と表す。点 $A, B, C$ の位置ベクトルを $a, b, c$ 、重心を $g = (a + b + c) /3$ とすると

f (l) = v = a, b, c \sum (u \cdot v - h)^{2} .

$m = u \cdot g$ と置いて平方を完成すると

f (l) = \sum (u \cdot v - m)^{2} + 3 (h - m)^{2} .

よって最小となるのは $h = m$ 、すなわち直線が重心を通るときである。

重心を原点として $A = (r, 0), B = (u, v), C = (- r - u, - v)$ と置く。3点は相異なり三角形を作るので、座標軸を選べば $r > 0, v \neq = 0$ としてよい。

重心を通り単位法線が $(cos θ, sin θ)$ の直線に対する最小値は

F (θ) = X = A, B, C \sum (x_{X} cos θ + y_{X} sin θ)^{2} .

これは $F (θ) = K + L cos 2 θ + M sin 2 θ$ の形である。定数でなければ、 $0 ≦ θ < π$ で最小にする方向は1つしかない。異なる3本が最小にするなら $F$ は定数であり、

\sum x_{X}^{2} = \sum y_{X}^{2}, \sum x_{X} y_{X} = 0.

後式は $v (r + 2 u) = 0$ だから $u = - r /2$ 。前式は

\frac{3 r ^{2}}{2} = 2 v^{2}

だから $v^{2} = 3 r^{2} /4$ である。従って

A = (r, 0), B = (- \frac{r}{2}, \pm \frac{3 r}{2}), C = (- \frac{r}{2}, \mp \frac{3 r}{2}),

となり、3辺の長さは等しい。よって三角形 $A B C$ は正三角形である。