東京大学 1992年度後期・理系数学後期理科第3問解答・解説

問題

多項式の列 $P_{0} (x) = 0$ ， $P_{1} (x) = 1$ ， $P_{2} (x) = 1 + x$ ， $\dots\dots$ ， $P_{n} (x) = k = 0 \sum n - 1 x^{k}$ ， $\dots\dots$ を考える．

(1) 正の整数 $n$ ， $m$ に対して， $P_{n} (x)$ を $P_{m} (x)$ で割った余りは $P_{0} (x)$ ， $P_{1} (x)$ ， $\dots\dots$ ， $P_{m - 1} (x)$ のいずれかであることを証明せよ．

(2) 等式 $P_{l} (x) P_{m} (x^{2}) P_{n} (x^{4}) = P_{100} (x)$ が成立するような正の整数の組 $(l, m, n)$ をすべて求めよ．

出典：東京大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期理科第3問

方針

(1)は $n = q m + r$ として $x^{m} \equiv 1 (mod P_{m} (x))$ を使う。(2)は各係数が1であることを、指数 $i + 2 j + 4 k$ の一意表示条件として低次数から調べる。

解答

(1)

$n = q m + r (0 ≦ r < m)$ とする。

P_{n} (x) = P_{m} (x) (1 + x^{m} + \dots + x^{(q - 1) m}) + x^{q m} P_{r} (x) .

また $x^{m} - 1 = (x - 1) P_{m} (x)$ だから、 $P_{m} (x)$ を法として $x^{q m}$ の余りは1である。従って余りは

P_{r} (x)

であり、 $r = 0, 1, \dots, m - 1$ のいずれかである。

(2)

左辺の各項は

x^{i + 2 j + 4 k} (0 ≦ i < l, 0 ≦ j < m, 0 ≦ k < n)

である。右辺では次数0から99までの係数がすべて1なので、この表示が各整数0から99に対してちょうど1通りでなければならない。また $x = 1$ を代入して

l mn = 100. (1)

次数1を作るため $l ≧ 2$ である。次数2の表示が一意であることから、「 $l ≧ 3$ 」と「 $m ≧ 2$ 」のちょうど一方が成り立つ。

まず $m ≧ 2$ なら $l = 2$ である。このとき $P_{2} (x) P_{m} (x^{2}) = P_{2 m} (x)$ 。 $n = 1$ なら (1) より $m = 50$ 。 $n ≧ 2$ なら重複も欠落もなく重み4へつなぐため $2 m = 4$ 、従って $m = 2, n = 25$ である。

次に $m = 1$ なら、次数0,1,2,3を作るため $l ≧ 4$ 。 $n = 1$ なら $l = 100$ 。 $n ≧ 2$ なら重み4へつなぐため $l = 4$ 、従って $n = 25$ である。

以上より

(l, m, n) = (100, 1, 1), (2, 50, 1), (4, 1, 25), (2, 2, 25) .

各組は $P_{a} (x) P_{b} (x^{a}) = P_{ab} (x)$ を順に使えば実際に等式を満たす。

東京大学 1992年度後期・理系数学 後期 理科第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1992年度
後期・理系数学後期理科第3問