東京大学 1992年度後期・理系数学後期理科第2問解答・解説

問題

(1) 空間内の直線 $L$ を共通の境界線とし，角 $θ$ で交わる2つの半平面 $H_{1}$ ， $H_{2}$ がある． $H_{1}$ 上に点 $A$ ， $L$ 上に点 $B$ ， $H_{2}$ 上に点 $C$ がそれぞれ固定されている．ただし， $A$ ， $C$ は $L$ 上にはないものとする．半平面 $H_{1}$ を， $L$ を軸として， $0 ≦ θ ≦ π$ の範囲で回転させる．このとき， $θ$ が増加すると $∠ A B C$ も増加することを証明せよ．

(2) 空間内の相異なる4点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ について，不等式

∠ A B C + ∠ B C D + ∠ C D A + ∠ D A B ≦ 2 π

が成り立つことを証明せよ．
ただし，角の単位はラジアンを用いる．

出典：東京大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期理科第2問

方針

(1)は共通境界を座標軸にして2本のベクトルの内積を $cos θ$ の一次式にする。(2)は対角線 $A C$ を蝶番として2つの三角形を平面へ開き、(1)により端点角が増加することを使う。

解答

(1)

$B$ を原点、 $L$ を $x$ 軸とする。適当な正数 $p, q$ と実数 $u, v$ により

B A = (u, p, 0), B C = (v, q cos θ, q sin θ)

と置ける。従って

cos ∠ A B C = \frac{uv + pq cos θ}{u ^{2} + p ^{2} v ^{2} + q ^{2}} .

$0 ≦ θ ≦ π$ で $cos θ$ は減少し、 $p, q > 0$ だから右辺は減少する。従って $∠ A B C$ は増加する。

(2)

対角線 $A C$ を共通境界として、三角形 $A B C$ と $A C D$ の半平面を考える。三角形 $A C D$ を $A C$ のまわりに回し、三角形 $A B C$ と反対側の同一平面まで開く。

この操作で $∠ A B C, ∠ C D A$ は変わらない。(1)を頂点 $A, C$ に適用すると、 $∠ D A B, ∠ B C D$ は減少しない。開いた後の4点は平面上の四角形を作り、その4内角の和は $2 π$ である。従って開く前について

∠ A B C + ∠ B C D + ∠ C D A + ∠ D A B ≦ 2 π .

東京大学 1992年度後期・理系数学 後期 理科第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1992年度
後期・理系数学後期理科第2問