東京大学 1992年度後期・理系数学後期理科第1問解答・解説

問題

定数 $a$ に対して，曲線 $y = x^{2} - 1 + \frac{a}{x}$ の $x ≧ 1$ の部分を $C (a)$ とおく．

(1) $C (a)$ が直線 $y = x$ の下部 $y < x$ に含まれるような実数 $a$ の最大値 $a_{0}$ を求めよ．

(2) $0 < θ < \frac{π}{2}$ のとき， $C (a_{0})$ と3直線 $y = x$ ， $x = 1$ ， $x = \frac{1}{cos θ}$ によって囲まれる図形を $x$ 軸のまわりに回転させてできる立体 $V$ の体積 $V (θ)$ を求めよ．

(3) $θ \to \frac{π}{2} - 0 lim V (θ)$ を求めよ．

出典：東京大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期理科第1問

(1)は $a < x^{2} - x x^{2} - 1$ の右辺の下限を調べる。(2)は外半径 $x$ 、内半径 $C (a_{0})$ の回転体として断面積を積分し、平方根を含む項を置換積分する。

条件 $C (a) \subset {y < x}$ は

a < x^{2} - x x^{2} - 1 (x ≧ 1)

と同値である。右辺は

\frac{x}{x + x ^{2} - 1}

であり、 $x ≧ 1$ で $1/2$ より大きく、 $x \to \infty$ で $1/2$ に近づく。従って最大値は

a_{0} = \frac{1}{2} .

$b (x) = x^{2} - 1 + 1/ (2 x)$ とおく。回転体の体積は

V (θ) = π \int_{1}^{1/ c o s θ} {x^{2} - b (x)^{2}} d x .

被積分関数は

1 - \frac{1}{4 x ^{2}} - \frac{x ^{2} - 1}{x} .

ここで

\int \frac{x ^{2} - 1}{x} d x = x^{2} - 1 - tan^{- 1} x^{2} - 1

だから

V (θ) = π (\frac{1}{cos θ} - tan θ + \frac{cos θ}{4} + θ - \frac{5}{4}) .

$θ \to π /2 - 0$ で

\frac{1}{cos θ} - tan θ = \frac{1 - sin θ}{cos θ} \to 0.

従って

θ \to π /2 - 0 lim V (θ) = \frac{π ( 2 π - 5 )}{4} .