東京大学 1991年度後期・理系数学後期理科第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の長さ2の線分 $A B$ を直径とする半円を $D$ とする．半円 $D$ の内部(周を含まない)の一点を $P$ とする． $A$ と $P$ を通る直線と半円 $D$ の円弧の部分との交点を $Q$ とし， $B$ と $P$ を通る直線と半円 $D$ の円弧の部分との交点を $R$ とする．五角形 $A R P QB$ の面積を $S$ とおく．

(1) $∠ A P B$ を一定に保ったまま点 $P$ が半円 $D$ の内部を動くとき， $S$ のとる値の範囲を， $∠ A P B = θ$ を使って表せ．

(2) 点 $P$ が，半円 $D$ の内部を自由に動くとき， $S$ のとる値の範囲を求めよ．

出典：東京大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期理科第3問

方針

$m = A P, n = B P, u = mn$ と置く。点Pの円に対する方べきから $P Q, P R$ を消去し、五角形を3三角形に分けて面積を $u, θ$ の一次式にする。固定角での $u$ の範囲を三角形の辺条件から求め、最後に角度も動かして最大化する。

解答

$m = A P, n = B P, u = mn$ 、 $c = cos θ$ とおく。点Pは半円内部なので

\frac{π}{2} < θ < π, c < 0.

余弦定理より

m^{2} + n^{2} = 4 + 2 u c . (1)

円の中心をOとすると中線の公式から

1 - O P^{2} = - u c .

点Pの方べきより

m \cdot P Q = n \cdot P R = - u c . (2)

五角形を三角形 $P A B, P A R, P QB$ に分けると、(1),(2)から

S = \frac{1}{2} sin θ {u - (m^{2} + n^{2}) c} = \frac{1}{2} sin θ {u (1 - 2 c^{2}) - 4 c} . (3)

また

(m - n)^{2} = 4 - 2 u (1 - c) ≧ 0

だから

0 < u ≦ \frac{2}{1 - c} . (4)

上端は $m = n$ のときにとり、下端0はPがAまたはBへ近づく極限で、とらない。

(1)

$1 - 2 c^{2} ≧ 0$ 、すなわち $π /2 < θ ≦ 3 π /4$ ではSはuとともに増加する。従って

- sin 2 θ < S ≦ \frac{sin θ ( 1 - 2 cos θ )}{1 - cos θ} (\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{4}) .

$θ = 3 π /4$ では $S = 1$ である。

$3 π /4 < θ < π$ ではSはuとともに減少するので

\frac{sin θ ( 1 - 2 cos θ )}{1 - cos θ} ≦ S < - sin 2 θ .

(2)

後半の角度範囲では $- sin 2 θ ≦ 1$ である。前半で $z = - cos θ$ とおくと、上端は

M (z) = \frac{1 - z ^{2} ( 1 + 2 z )}{1 + z} (0 < z ≦ \frac{1}{2}) .

微分すると最大は

z = \frac{3 - 1}{2}

で生じ、

M_{m a x} = 63 - 9 .

一方SはPを端点へ近づけることで0へ近づくが、内部点なので0にはならない。従って全体の範囲は

0 < S ≦ 63 - 9 .

東京大学 1991年度後期・理系数学 後期 理科第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1991年度
後期・理系数学後期理科第3問