東京大学 1991年度後期・理系数学後期理科第1問解答・解説

問題

(1) $x > 0$ において，関数 $\frac{lo g x}{x}$ の増減を調べよ．ただし， $lo g x$ は $x$ の自然対数である．

(2) 正整数 $a$ ， $b$ の組で， $a^{b} = b^{a}$ かつ $a \neq = b$ を満たすものをすべて求めよ．

(3) $3^{x} = x^{3}$ を満たす正の有理数は，3以外には存在しないことを示せ．

出典：東京大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期理科第1問

(1)で $lo g x / x$ の単調性を確定する。(2)は整数の小さい側を1,2に絞る。(3)は有理数を既約分数にして素因数を比較し、まず分母が1、次に整数が3の冪であることを導く。

(\frac{lo g x}{x})^{'} = \frac{1 - lo g x}{x ^{2}} .

従って $0 < x < e$ で増加し、 $x > e$ で減少する。

$a < b$ としてよい。条件は

\frac{lo g a}{a} = \frac{lo g b}{b} .

$a ≧ 3$ なら両者は減少区間にあり等しくならない。 $a = 1$ も不可能である。 $a = 2$ のとき、 $b ≧ 3$ では関数は減少し、 $b = 4$ で

2^{4} = 4^{2}

が成り立つのでこれだけである。順序も含めて

(a, b) = (2, 4), (4, 2) .

$x = m / n$ を互いに素な正整数 $m, n$ で表す。 $3^{m / n} = (m / n)^{3}$ より

3^{m} n^{3 n} = m^{3 n} .

$n$ の素因数は右辺に現れないので $n = 1$ 。従って $x = m$ は整数である。さらに等式から $m$ の素因数は3だけなので $m = 3^{k}$ と書ける。すると

3^{k} = 3 k .

$k = 1$ は解であり、 $k ≧ 2$ では $3^{k} > 3 k$ だから解でない。従って正の有理数解は

x = 3

だけである。