東京大学 1991年度後期・理系数学後期理科第2問解答・解説

問題

平面上に3つの円 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ があって， $C_{1}$ と $C_{2}$ は相異なる2点 $A$ ， $B$ で交わり， $C_{3}$ は $C_{1}$ および $C_{2}$ と互いに直交している．ただし，2つの円が互いに直交しているとは，2つの円に共通点があって，各共通点におけるそれぞれの円に対する接線がその共通点で直交しているときをいう．

(1) 円 $C_{3}$ の中心は，2点 $A$ ， $B$ を通る直線上にあることを示せ．

(2) 2点 $A$ ， $B$ の一方は円 $C_{3}$ の内側に，他方は円 $C_{3}$ の外側にあることを示せ．

出典：東京大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期理科第2問

方針

円の直交条件を中心間距離の平方で表す。(1)は2円に対する式の差から根軸 $A B$ を得る。(2)は $A B$ を座標軸にして中心と半径の関係を求め、A,Bの円に対する方べきの符号を比較する。

解答

$C_{i}$ の中心、半径を $O_{i}, r_{i}$ とする。2円が直交する条件は

O_{i} O_{3}^{2} = r_{i}^{2} + r_{3}^{2}

である。

(1)

$i = 1, 2$ の式を引くと

O_{1} O_{3}^{2} - r_{1}^{2} = O_{2} O_{3}^{2} - r_{2}^{2} .

両辺は点 $O_{3}$ の $C_{1}, C_{2}$ に対する方べきであり、これらが等しい点の軌跡は共通弦 $A B$ を含む直線である。従って $O_{3}$ は直線 $A B$ 上にある。

(2)

$A B$ の中点を原点とし

A = (- c, 0), B = (c, 0) (c > 0)

と置く。 $C_{1}, C_{2}$ の中心は $A B$ の垂直二等分線上にあるから $O_{i} = (0, u_{i})$ 、半径は

r_{i}^{2} = c^{2} + u_{i}^{2} .

(1)

より $O_{3} = (s, 0)$ と置ける。直交条件から

s^{2} + u_{i}^{2} = r_{3}^{2} + c^{2} + u_{i}^{2},

従って

r_{3}^{2} = s^{2} - c^{2} > 0.

点A,Bの $C_{3}$ に対する方べきはそれぞれ

(s + c)^{2} - r_{3}^{2} = 2 c (s + c),

(s - c)^{2} - r_{3}^{2} = 2 c (c - s) .

$∣ s ∣ > c$ なので2つの符号は反対である。よって一方は $C_{3}$ の内側、他方は外側にある。

東京大学 1991年度後期・理系数学 後期 理科第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(1)

東京大学 1991年度
後期・理系数学後期理科第2問