東京大学 1988年度
文系数学 第4問

解答

まず $f^{\prime }(x)=3x^2-2x$ である。点 $A(1,0)$ における接線の傾きは $f^{\prime }(1)=1$ だから、接線は $y=x-1$ である。この直線と曲線 $y=f(x)$ の交点を求めると $x^3-x^2=x-1$ すなわち $x^3-x^2-x+1=0$ である。左辺は $x^3-x^2-x+1=(x-1{)}^2(x+1)$ と因数分解できるので、接点 $x=1$ 以外の交点は $x=-1$ である。したがって $B=(-1,f(-1))=(-1,-2)$ である。

2次関数 $g(x)=a{x}^2+bx+c$ と $f(x)$ は $A,B$ と、その間のもう1点で交わる。もう1点の $x$ 座標を $t$ とおくと $-1<t<1$ であり、$g(x)-f(x)$ は $x=-1,t,1$ を根にもつ3次式である。$g(x)-f(x)$ の最高次の係数は $-1$ だから $g(x)-f(x)=-(x+1)(x-1)(x-t)=(1-x^2)(x-t)$ である。よって $g(x)=f(x)+(1-x^2)(x-t)$ であり、整理すると $g(x)=x^3-x^2+x-t-x^3+t{x}^2=(t-1)x^2+x-t$ である。

したがって $a=t-1,b=1,c=-t$ である。

次に囲まれる面積を求める。$-1<x<1$ では $1-x^2>0$ であるから、$g(x)-f(x)$ の符号は $x-t$ の符号で決まる。したがって面積 $S(t)$ は $S(t)=-{\int }_{-1}^t(1-x^2)(x-t)dx+{\int }_t^1(1-x^2)(x-t)dx$ である。

ここで $(1-x^2)(x-t)=x-t-x^3+t{x}^2$ だから、原始関数の一つは $\frac{x^2}{2}-tx-\frac{x^4}{4}+\frac{t{x}^3}{3}$ である。これを用いて整理すると $S(t)=\frac{-t^4+6t^2+3}{6}$ となる。確認のため微分すると $S^{\prime }(t)=\frac{-4t^3+12t}{6}=\frac{2}{3}t(3-t^2)$ である。$-1<t<1$ では $3-t^2>0$ なので、$S(t)$ は $-1<t<0$ で減少し、$0<t<1$ で増加する。したがって最小は $t=0$ のときである。

このとき $g(x)=-x^2+x$ なので $a=-1,b=1,c=0$ である。また最小面積は $S(0)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ である。

補足。$t=0$ では3つの交点の $x$ 座標が $-1,0,1$ と左右対称に並ぶ。面積を最小にする位置が対称になることは自然だが、答案では必ず $S^{\prime }(t)$ の符号で確認しておく。