東京大学 1988年度文系数学第3問解答・解説

問題

不等式

x ≧ 0, y ≧ 0, z ≧ 0, x + y + z ≦ 3, x + 2 z ≦ 4, y - z ≦ 1

で表される立体の体積を求めよ。

出典：東京大学 1988年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

$z$ を固定して、残る $x y$ 平面内の断面積を求める。条件 $x + 2 z ≦ 4$ と $y - z ≦ 1$ のどちらが実際に三角形を切るかは $z = 1$ で入れ替わるため、 $0 ≦ z ≦ 1$ 、 $1 ≦ z ≦ 2$ に分ける。各断面は大きな直角二等辺三角形から小三角形を引く形で面積を出し、最後に $z$ で積分する。

解答

$z$ を固定して考える。条件 $x + 2 z ≦ 4$ と $x + y + z ≦ 3$ から、 $z$ は $0 ≦ z ≦ 2$ を動けばよい。

このとき $x y$ 平面に平行な断面は

x ≧ 0, y ≧ 0, x + y ≦ 3 - z, x ≦ 4 - 2 z, y ≦ z + 1

で表される。

まず $0 ≦ z ≦ 1$ の場合を考える。この範囲では $4 - 2 z ≧ 3 - z$ なので、条件 $x ≦ 4 - 2 z$ は断面をさらに切らない。一方、 $z + 1 ≦ 3 - z$ なので、条件 $y ≦ z + 1$ が上側を切る。もとの三角形 $x ≧ 0, y ≧ 0, x + y ≦ 3 - z$ の面積は $\frac{1}{2} (3 - z)^{2}$ である。ここから $y > z + 1$ の部分を除く。この除かれる小三角形の脚の長さは $(3 - z) - (z + 1) = 2 - 2 z$ だから、断面積 $A (z)$ は $A (z) = \frac{( 3 - z ) ^{2} - ( 2 - 2 z ) ^{2}}{2} (0 ≦ z ≦ 1)$ である。

次に $1 ≦ z ≦ 2$ の場合を考える。この範囲では $z + 1 ≧ 3 - z$ なので、条件 $y ≦ z + 1$ は断面をさらに切らない。一方、 $4 - 2 z ≦ 3 - z$ なので、条件 $x ≦ 4 - 2 z$ が右側を切る。除かれる小三角形の脚の長さは $(3 - z) - (4 - 2 z) = z - 1$ だから $A (z) = \frac{( 3 - z ) ^{2} - ( z - 1 ) ^{2}}{2} (1 ≦ z ≦ 2)$ である。

したがって求める体積 $V$ は

V = \int_{0}^{1} \frac{( 3 - z ) ^{2} - ( 2 - 2 z ) ^{2}}{2} d z + \int_{1}^{2} \frac{( 3 - z ) ^{2} - ( z - 1 ) ^{2}}{2} d z

である。第1積分の被積分関数を整理すると $\frac{( 3 - z ) ^{2} - ( 2 - 2 z ) ^{2}}{2} = \frac{5 + 2 z - 3 z ^{2}}{2}$ なので

\int_{0}^{1} \frac{5 + 2 z - 3 z ^{2}}{2} d z = \frac{1}{2} [5 z + z^{2} - z^{3}]_{0}^{1} = \frac{5}{2}

である。第2積分では $\frac{( 3 - z ) ^{2} - ( z - 1 ) ^{2}}{2} = 4 - 2 z$ だから $\int_{1}^{2} (4 - 2 z) d z = [4 z - z^{2}]_{1}^{2} = 1$ である。よって $V = \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{2}$ である。

補足。分岐点 $z = 1$ は、 $x ≦ 4 - 2 z$ と $y ≦ z + 1$ の効き方が入れ替わる高さである。ここを分けずに一つの式で処理しようとすると、存在しない小三角形を引いてしまうので注意する。

東京大学 1988年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

東京大学 1988年度
文系数学第3問