問題
直線 上に距離 の2点 があり， に平行な直線 上を点 が毎秒 mで動く。 となる時刻が5秒離れているとき，2直線 の距離を求めよ。
出典：東京大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
直線 を 軸、2点 を左右対称に置く。条件 は焦点 の楕円を表すので、直線 との交点間の距離が、点 の速さと時刻差から になることを使う。半長軸、焦点距離、短半径を求め、交点の 座標から2直線間の距離を決める。
解答
直線 を 軸とし、2点を に置く。2直線 の距離を とし、 を と書く。点 を とおく。
条件 を満たす点 の軌跡は、焦点が 、長軸の長さが の楕円である。半長軸は であり、中心から焦点までの距離は である。したがって短半径の2乗は である。よって楕円の方程式は となる。
点 は直線 上を毎秒 mで動く。条件を満たす2つの時刻が5秒離れているので、その2点の間の距離は mである。直線 は 軸に平行だから、この2点の 座標の差も である。楕円は 軸対称なので、対応する2点は とおける。
したがって点 は楕円上にある。これを代入して を得る。第1項は だから であり、 である。距離は正なので である。
別解。楕円の方程式を使わずに、条件を直接距離で書いてもよい。2つの該当点は対称性から である。たとえば について
であるから を解けばよい。移項して2乗すると となり、整理して再度2乗すれば同じく が得られる。