東京大学 1983年度文系数学第4問解答・解説

問題

直線上に，赤と白の旗をもった何人かの人が，番号 $0, 1, 2, \dots$ をつけて並んでいる．番号0の人は，赤と白の旗を等しい確率で無作為にあげるものとし，他の番号 $j$ の人は，番号 $j - 1$ の人のあげた旗の色を見て，確率 $p$ で同じ色，確率 $1 - p$ で異なる色の旗をあげるものとする．
このとき，番号0の人と番号 $n$ の人が同じ色の旗をあげる確率 $P_{n}$ を求めよ．

出典：東京大学 1983年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

番号 $n$ の人が番号0の人と同じ色か、異なる色かだけに注目する。次の人が同じ色になる場合は、直前が同じ色で同じ旗を選ぶ場合と、直前が異なる色で異なる旗を選ぶ場合の2通りである。これにより一次漸化式を作り、 $1/2$ を引いて等比型に直す。

解答

番号0の人と番号 $n$ の人が同じ色の旗をあげる確率を $P_{n}$ とする。番号 $n$ の人が番号0の人と同じ色である場合、番号 $n + 1$ の人が番号0の人と同じ色になるには、番号 $n$ の人と同じ色をあげればよい。その確率は $p$ である。

一方、番号 $n$ の人が番号0の人と異なる色である場合、番号 $n + 1$ の人が番号0の人と同じ色になるには、番号 $n$ の人と異なる色をあげればよい。その確率は $1 - p$ である。

したがって $P_{n + 1} = p P_{n} + (1 - p) (1 - P_{n})$ である。整理すると $P_{n + 1} = (2 p - 1) P_{n} + 1 - p$ を得る。

また番号0の人は自分自身とは必ず同じ色なので $P_{0} = 1$ である。ここで $Q_{n} = P_{n} - \frac{1}{2}$ とおくと $Q_{n + 1} = (2 p - 1) Q_{n}$ となる。さらに $Q_{0} = \frac{1}{2}$ であるから $Q_{n} = \frac{1}{2} (2 p - 1)^{n}$ である。

よって $P_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (2 p - 1)^{n}$ である。

東京大学 1983年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

東京大学 1983年度
文系数学第4問