東京大学 1983年度
文系数学 第3問

解答

点 $P$ の $x$ 座標を $p$、接線 $l$ が再び曲線 $C$ と交わる点 $Q$ の $x$ 座標を $q$ とする。

曲線 $C$ の式から接線 $l$ の式を引いたものは3次式である。接線は $x=p$ で曲線に接するので、差の式は $x=p$ を重解にもつ。また $Q$ でも交わるので $x=q$ を解にもつ。最高次係数は $1$ であるから $C-l=(x-p{)}^2(x-q)$ と表せる。 $d=q-p$ とおく。$p$ と $q$ の間で囲まれる面積は ${\int }_p^q|(x-p{)}^2(x-q)|dx$ である。向きを入れ替えても同じなので、$d>0$ として計算すると ${\int }_p^q(x-p{)}^2(q-x)dx$ である。$u=x-p$ とおけば ${\int }_0^d{u}^2(d-u)du=\frac{d^4}{12}$ となる。

次に $Q$ における接線 $m$ を考える。この接線がさらに曲線と交わる点の $x$ 座標を $r$ とする。先ほどの因数分解 $(x-p{)}^2(x-q)$ の $x^2$ の係数は $-(2p+q)$ であり、これは曲線 $C$ の $x^2$ の係数 $a$ に等しい。したがって $2p+q=-a$ である。

同様に、$Q$ における接線については $2q+r=-a$ である。よって $r-q=-2(q-p)$ となり、次の接点間の $x$ 座標の差の絶対値は $2|q-p|=2|d|$ である。

したがって、$m$ と $C$ で囲まれる部分の面積は $\frac{(2|d|{)}^4}{12}=16\cdot \frac{d^4}{12}$ である。ゆえに求める面積比は $1:16$ であり、$p,q,a,b,c$ によらず一定である。