東京大学 1981年度
文系数学 第3問

解答

共通接線を $y=mx+b$ とおく。まず $C_1:y=2x^2+1$ に接する条件を求める。交点は $2x^2+1=mx+b$ すなわち $2x^2-mx+(1-b)=0$ であり、接するためには判別式が0であればよい。よって $m^2-8(1-b)=0$ から $b=1-\frac{m^2}{8}$ である。

次に $C_2:y=-x^2+c$ に接する条件は $-x^2+c=mx+b$ すなわち $x^2+mx+(b-c)=0$ が重解をもつことである。よって $m^2-4(b-c)=0$ から $b=c+\frac{m^2}{4}$ である。

2つの $b$ が等しいので $1-\frac{m^2}{8}=c+\frac{m^2}{4}$ である。したがって $\frac{3m^2}{8}=1-c$ となり、$m=\pm \sqrt{\frac{8(1-c)}{3}}$ である。また $b=\frac{c+2}{3}$ である。よって共通接線は $y=\pm \sqrt{\frac{8(1-c)}{3}}x+\frac{c+2}{3}$ である。

ここで $k=\sqrt{\frac{8(1-c)}{3}}$ とおく。$k>0$ であり、2本の接線は $y=\pm kx+1-\frac{k^2}{8}$ である。 $C_1$ と2本の接線で囲まれる部分は対称である。右半分では、上が $C_1$、下が接線 $y=kx+1-k^2/8$ で、接点は $x=k/4$ である。したがって

である。中身は $2x^2-kx+\frac{k^2}{8}=2{\left(x-\frac{k}{4}\right)}^2$ だから $S_1=2{\int }_0^{k/4}2{\left(x-\frac{k}{4}\right)}^{2}dx=\frac{k^3}{48}$ である。

同様に、$C_2$ と2本の接線で囲まれる部分の右半分では、上が接線 $y=-kx+c+k^2/4$、下が $C_2$ で、接点は $x=k/2$ である。よって $S_2=2{\int }_0^{k/2}\left\{-kx+c+\frac{k^2}{4}-(-x^2+c)\right\}dx$ である。中身は $x^2-kx+\frac{k^2}{4}={\left(x-\frac{k}{2}\right)}^2$ なので $S_2=2{\int }_0^{k/2}{\left(x-\frac{k}{2}\right)}^{2}dx=\frac{k^3}{12}$ である。したがって $\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{4}$ である。