東京大学 1981年度文系数学第1問解答・解説

問題

$A = (- 1 3 - 3 - 1)$ とし，正の整数 $n$ について $(x_{n} y_{n}) = A^{n} (10)$ とおく．つぎに， $α$ を実数とし， $x y$ 平面上の点 $(x_{n}, y_{n})$ と点 $(a, 0)$ との距離を $d_{n}$ とする．このとき， $d_{n + 1} > d_{n}$ がすべての正の整数 $n$ に対して成り立つような， $a$ の値の範囲を求めよ．

出典：東京大学 1981年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

行列 $A$ は長さを2倍し、偏角を $2 π /3$ だけ回す変換として扱える。したがって $(x_{n}, y_{n})$ は半径 $2^{n}$ 、角 $2 nπ /3$ の点で、 $x_{n}$ は3周期で表せる。距離は大小比較だけなので $d_{n}^{2}$ を用い、 $d_{n + 1}^{2} - d_{n}^{2} > 0$ を $n$ の3つの剰余類に分ける。各不等式で最も厳しい $n$ を選んで共通範囲を取る。

解答

行列 $A$ は、複素数 $z = x + i y$ に対して $z \mapsto (- 1 + 3 i) z$ を行う変換と同じである。ここで $- 1 + 3 i = 2 (cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3})$ であるから $x_{n} + i y_{n} = 2^{n} (cos \frac{2 nπ}{3} + i sin \frac{2 nπ}{3})$ である。

点 $(x_{n}, y_{n})$ と $(a, 0)$ との距離の2乗は $d_{n}^{2} = (x_{n} - a)^{2} + y_{n}^{2} = x_{n}^{2} + y_{n}^{2} - 2 a x_{n} + a^{2}$ である。 $x_{n}^{2} + y_{n}^{2} = 4^{n}$ だから $d_{n}^{2} = 4^{n} - 2 a x_{n} + a^{2}$ である。したがって $d_{n + 1}^{2} - d_{n}^{2} = 3 \cdot 4^{n} - 2 a (x_{n + 1} - x_{n})$ となる。 $d_{n}, d_{n + 1}$ は距離で非負なので、 $d_{n + 1} > d_{n}$ は $d_{n + 1}^{2} - d_{n}^{2} > 0$ と同値である。 $x_{n} = 2^{n} cos (2 nπ /3)$ を3つの場合に分ける。 $n \equiv 0 (mod 3)$ のとき $x_{n} = 2^{n}, x_{n + 1} = - 2^{n}$ なので $x_{n + 1} - x_{n} = - 2^{n + 1}$ である。よって $3 \cdot 4^{n} + 2 a \cdot 2^{n + 1} > 0$ となり、 $a > - 3 \cdot 2^{n - 2}$ を得る。この範囲で最も厳しいのは最小の $n = 3$ から $a > - 6$ である。 $n \equiv 1 (mod 3)$ のとき $x_{n + 1} - x_{n} = - 2^{n - 1}$ であり、同様に $a > - 3 \cdot 2^{n}$ を得る。最も厳しいのは $n = 1$ で、やはり $a > - 6$ である。 $n \equiv 2 (mod 3)$ のとき $x_{n + 1} - x_{n} = 5 \cdot 2^{n - 1}$ であるから $3 \cdot 4^{n} - 10 a \cdot 2^{n - 1} > 0$ となる。したがって $a < \frac{3}{5} 2^{n}$ である。この範囲で最も厳しいのは $n = 2$ から $a < \frac{12}{5}$ である。

以上を合わせて、求める範囲は $- 6 < a < \frac{12}{5}$ である。

東京大学 1981年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

東京大学 1981年度
文系数学第1問