問題
が100円硬貨を4枚，が50円硬貨を3枚投げ，硬貨の表が出た枚数の多い方を勝ちとし，同じ枚数のときは引き分けとする．硬貨の表，裏の出る確率はすべてであるものとする．
(1) の勝つ確率，の勝つ確率，引き分けの確率を求めよ．
(2) もし，勝った方が相手の投げた硬貨を全部もらえるとしたら，ととどちらが有利か．
出典：東京大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
Aの表の枚数 、Bの表の枚数 を二項分布で表す。勝敗の確率は 、、 を表で集計すればよい。(2) は勝つ確率だけでなく金額を掛けた期待値で判断する。Aは勝つと150円を得るが、負けると400円を失うため、Aの期待利益を計算して符号を見る。
解答
(1)
Aの表の枚数を 、Bの表の枚数を とする。すると であり、 である。
Aが勝つ確率は である。各 について数えると
である。よって である。
同様にBが勝つ確率は
である。したがって引き分けの確率は である。
よって
である。
(2)
Aが勝つと、Bの投げた50円硬貨3枚をもらうので、Aの利益は である。Aが負けると、100円硬貨4枚をBに渡すので、Aの利益は である。引き分けでは利益は0円である。
したがってAの期待利益は
円である。Aの期待利益が負であるから、Bの期待利益は正である。よって である。