問題
関数に対して，座標平面上の2つの点，を考える。実数がの範囲を動くとき，線分が通過してできる図形の面積をとおく。以下の問いに答えよ。
(1) 関数に対して，の値を求めよ。
(2) 関数に対して，曲線の接線で，傾きが1のものの方程式を求めよ。
(3) 設問(2)の関数に対して，の値を求めよ。
出典：東北大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
線分 は常に方向ベクトル をもつので， に座標変換する。この変換は面積を変えず，線分は ， という水平な長さ1の区間になる。(1) は の値ごとに2つの枝から来る区間の和集合の幅を数える。(2) は微分で接線を出す。(3) は が単調なので，各 に対応する が1つだけで，幅が常に1になる。
解答
点 上の点を とし， とおく。この座標変換は平行四辺形の面積を変えない。実際，逆変換は であり，単位正方形は面積1の平行四辺形に移る。 ， であるから，線分 上では である。以下， ごとの 方向の幅を数える。
(1)
では なので であり，， の範囲は である。 では なので であり，， だから である。 では後半の枝だけが現れるので幅は1である。 では2つの長さ1の区間 の和集合を考える。これらが重ならない条件は すなわち である。したがって幅は， で2， で である。
よって面積 は
である。計算すると である。
(2)
であるから である。傾きが1となるのは のときであり，接点は である。したがって接線の方程式は すなわち である。
(3)
このとき である。これを とおくと であるから， で は単調減少する。また である。
したがって の各 に対応する はただ1つであり，そのときの線分の 方向の長さは常に1である。よって である。