問題
平面上の半径1の円の中心から距離4だけ離れた点をとる。点を通る円の2本の接線を考え，この2本の接線と円の接点をそれぞれ，とする。以下の問いに答えよ。
(1) 三角形の面積を求めよ。
(2) 三角形の内接円の半径と，三角形の外接円の半径をそれぞれ求めよ。
出典：東北大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
を 軸に置き，円を ， としてよい。接点 では半径 と接線 が垂直なので，内積条件と円の条件から が決まる。2つの接点は上下対称で，底辺 と高さがすぐ出る。内接円半径は ，外接円半径は を用いる。
解答
(1)
図形は回転しても面積や長さが変わらないので，，，円 として考える。接点の一つを とする。接点では半径 と接線 が垂直であるから， である。すなわち である。また は円上にあるので である。したがって となり， である。
円上の条件から である。よって2つの接点は である。したがって であり， から直線 ，すなわち までの距離は である。よって三角形 の面積 は
である。
(2)
接線の長さは，直角三角形 から である。また(1)より である。半周長を とすると である。
内接円の半径を とすると だから
である。
外接円の半径を とする。三角形の三辺を用いる面積公式 より
である。右辺の分子は なので， である。