問題
を実数とし，2次関数を考える。実数がの範囲を動くときのの最大値および最小値を，それぞれおよびとする。以下の問いに答えよ。
(1) をを用いて表せ。
(2) をを用いて表せ。
(3) がすべての実数を動くとき，の最小値を求めよ。
出典：東北大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
平方完成 で頂点 と区間 の位置関係を見る。最大値は下に凸の2次関数なので端点の大きい方で決まり， の符号で分ける。最小値は，頂点が区間の左側・内部・右側のどこにあるかで分ける。(3) は(2)の各場合でさらに最小値を比較する。
解答
(1)
は下に凸の2次関数である。したがって閉区間 における最大値は，どちらかの端点でとる。
端点での値は および である。差をとると である。よって では の方が大きく， では の方が大きい。したがって
である。
(2)
平方完成すると であり，頂点の 座標は である。
頂点が区間 に入る条件は である。これは と同値である。 のとき，頂点 は区間の右側にあるので，区間上では右端 で最小値をとる。 のときは頂点で最小値をとる。 のとき，頂点は区間の左側にあるので，左端 で最小値をとる。したがって
である。
(3)
(2)の3つの場合で の最小値を調べる。 では である。 はこの範囲に入るので，この場合の最小値は である。 では であり，この区間での最小値は のとき である。これは より大きい。 では である。以上より， がすべての実数を動くときの の最小値は である。