東北大学 2021年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) 正の実数 $a$ と正の整数 $n$ に対して次の等式が成り立つことを示せ。ただし， $e$ は自然対数の底とする。

e^{a} = 1 + a + \frac{a ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{a ^{n}}{n !} + \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x

(2) 正の実数 $a$ と正の整数 $n$ に対して次の不等式を示せ。

\frac{a ^{n + 1}}{( n + 1 ) !} ≦ \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x ≦ \frac{e ^{a} a ^{n + 1}}{( n + 1 ) !}

(3) 不等式

e - (1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \dots + \frac{1}{n !}) < 1 0^{- 3}

を満たす最小の正の整数 $n$ を求めよ。必要ならば $2 < e < 3$ であることは証明なしに用いてもよい。

出典：東北大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

(1) は余り積分 $I_{n} = \int_{0}^{a} (a - x)^{n} e^{x} / n! d x$ を置き，部分積分により $I_{n} = a^{n + 1} / (n + 1)! + I_{n + 1}$ となることを示して帰納法で進める。(2) は $0 ≦ x ≦ a$ で $1 ≦ e^{x} ≦ e^{a}$ を用いて積分全体をはさむ。(3) は $a = 1$ として誤差を余り積分で評価し，上限で $n = 6$ が十分，下限で $n = 5$ が不十分であることを確認する。

解答

(1)

$I_{n} = \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x$ とおく。まず $n = 1$ のとき，部分積分により

I_{1} = \int_{0}^{a} (a - x) e^{x} d x = [(a - x) e^{x}]_{0}^{a} + \int_{0}^{a} e^{x} d x = - a + (e^{a} - 1) = e^{a} - 1 - a

である。したがって $e^{a} = 1 + a + I_{1}$ となり，主張は成り立つ。

次に，ある $n$ で $e^{a} = 1 + a + \frac{a ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{a ^{n}}{n !} + I_{n}$ が成り立つと仮定する。 $I_{n}$ を部分積分すると

I_{n} = [\frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x}]_{0}^{a} + \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} e^{x} d x = - \frac{a ^{n}}{n !} + I_{n - 1}

である。これを1段先の形で書けば $I_{n} = \frac{a ^{n + 1}}{( n + 1 )!} + I_{n + 1}$ である。実際，この等式は $I_{n + 1}$ を部分積分することで得られる。

したがって仮定式に代入すると

e^{a} = 1 + a + \frac{a ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{a ^{n}}{n !} + \frac{a ^{n + 1}}{( n + 1 )!} + I_{n + 1}

となり， $n + 1$ でも成り立つ。よって数学的帰納法により，すべての正の整数 $n$ で与えられた等式が成り立つ。

(2)

$0 ≦ x ≦ a$ では $1 ≦ e^{x} ≦ e^{a}$ である。また $(a - x)^{n} / n! ≧ 0$ なので，両辺に掛けて積分すると

\int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} d x ≦ \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x ≦ e^{a} \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} d x

である。ここで

\int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} d x = \frac{1}{n !} [- \frac{( a - x ) ^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{a} = \frac{a ^{n + 1}}{( n + 1 )!}

である。よって

\frac{a ^{n + 1}}{( n + 1 )!} ≦ \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x ≦ \frac{e ^{a} a ^{n + 1}}{( n + 1 )!}

が成り立つ。

(3)

(1) を $a = 1$ に適用すると

e - (1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \dots + \frac{1}{n !}) = \int_{0}^{1} \frac{( 1 - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x

である。この右辺は正なので，絶対値はそのまま外せる。(2) より $\frac{1}{( n + 1 )!} ≦ 誤差 ≦ \frac{e}{( n + 1 )!}$ である。 $n = 5$ のとき，下限から $誤差 ≧ \frac{1}{6 !} = \frac{1}{720} > 1 0^{- 3}$ なので条件を満たさない。

一方 $n = 6$ のとき， $e < 3$ を用いると $誤差 ≦ \frac{e}{7 !} < \frac{3}{5040} < 1 0^{- 3}$ である。したがって条件を満たす最小の正の整数は $6$ である。

東北大学 2021年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2021年度
理系数学前期第6問