問題
を複素数とする。複素数平面上の3点，，について，以下の問いに答えよ。
(1) 3点が同一直線上にあるためのの必要十分条件を求めよ。
(2) 3点が二等辺三角形の頂点になるような全体を複素数平面上に図示せよ。
(3) 3点が二等辺三角形の頂点であり，かつの偏角がを満たすとき，三角形の面積の最大値とそのときのの値を求めよ。
方針
とおくと，三辺の長さは ，， になる。(1) の共線条件は， が の実数倍になること，つまり が実数であることに帰着する。(2) の二等辺条件は3辺の等式 ，， に分け，それぞれ単位円，中心1半径1の円，直線 を得る。面積最大では，各軌跡を に制限して を比較する。
解答
(1)
のときは3点 は同一直線上にある。以下 とする。
3点 が同一直線上にあることは， が の実数倍であることと同値である。すなわち，ある実数 があって となることである。 より両辺を で割ると となる。したがって は実数である。
逆に が実数なら， はすべて実軸上にあるので3点は同一直線上にある。よって必要十分条件は である。
(2)
とおく。三辺の長さは である。二等辺三角形になる条件は次の3つのいずれかである。
まず は であり，三角形を作る場合には なので である。これは単位円である。
次に は であり， より である。これは中心 ，半径 の円である。
最後に は であり， より である。これは2点 から等距離にある点の集合なので である。
したがって求める集合は，単位円，中心 半径 の円，直線 の和集合から，三角形がつぶれる実軸上の点を除いたものである。
(3)
とすると，三角形 の面積は，辺 と のなす角が であることから である。以下， で，(2) の3つの場合を調べる。 の場合，面積は であり，最大値は のとき である。 の場合，極形式では である。このとき面積は であり， で最大となるのは のときで，最大値は である。 の場合，極形式では である。面積は である。これを で最大化する。微分すると
であるから，最大は のときに起こる。このとき であり，面積は である。
したがって最大値は であり，そのとき
である。